女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

在中世紀(jì)，伊斯法罕是重要的文化、貿(mào)易和學(xué)術(shù)中心。在薩法維時(shí)代（16-17 世紀(jì)），伊斯法罕成為波斯首都，當(dāng)時(shí)伊斯蘭幾何裝飾的創(chuàng)作達(dá)到了頂峰。我們所知道的許多最復(fù)雜、最精巧的設(shè)計(jì)都裝飾在波斯建筑上，其中包括多層次設(shè)計(jì)，在這些設(shè)計(jì)中，不同尺度的圖案組合在一起，相互補(bǔ)充，相互豐富。在這篇文章中，我們研究了伊斯法罕的五個(gè)圍繞一個(gè)共同主題的雙層設(shè)計(jì)。這些設(shè)計(jì)展示了各種技術(shù)，分析揭示了調(diào)和不相容的幾何圖形和對(duì)稱性所需的一些獨(dú)創(chuàng)性和微妙的欺騙性，并制作出令人滿意的藝術(shù)作品。

主題

風(fēng)箏是伊斯蘭幾何藝術(shù)中的特色設(shè)計(jì)元素。風(fēng)箏本身可以單獨(dú)排列成圖案，也可以為其他元素提供結(jié)構(gòu)框架。圖 1 展示了兩種用正方形排列風(fēng)箏的圖案。(a) 部分顯示了四個(gè)風(fēng)箏圍繞中央正方形追逐的有限構(gòu)圖。由于名稱不詳，我們將其稱為旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案。我們還將說這種方向的圖案是順時(shí)針方向的變體，而其鏡像則是逆時(shí)針方向的變體。第（b）部分展示了一個(gè)可以擴(kuò)展到填滿整個(gè)平面的重復(fù)圖案。它包含了旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的兩種鏡像形式。

圖1：有限和無限旋轉(zhuǎn)的風(fēng)箏圖案。

伊斯蘭裝飾有三種形式：書法、花草和幾何。所有這些都作為次要裝飾形式應(yīng)用到了旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖上。圖 2(a)中的隔間采用了風(fēng)格化的Kufic書法裝飾；該設(shè)計(jì)取自伊斯法罕哈基姆清真寺（Masjid Hakim）中的一塊小拼塊板；Wade藏品[17]中的照片IRA 1017 顯示了原作。網(wǎng)站 [14] 是有關(guān)Kufic書法的有用資源，并提供了許多碑文的譯文。圖 2(b) 顯示的是突尼斯凱魯萬烏克巴大清真寺木門板上浮雕的阿拉伯式圖案。烏茲別克斯坦撒馬爾罕 TillaKari 伊斯蘭學(xué)校的另一個(gè)花卉圖案可參見 [17] 或 [15, 第 236 頁] 中的照片 TRA 0732。它是銀鍍金石膏制品，飾帶上有簡(jiǎn)單的花飾。在伊斯法罕的伊瑪目清真寺（Masjid-i Imam）（以前稱為皇家清真寺（Masjid-i Shah））的一個(gè)大iwan的兩側(cè)，有兩個(gè)更大、更精致的花飾。它們構(gòu)成了一對(duì)鏡像的旋渦風(fēng)箏圖案，并用多色彩繪拼塊繪制而成。文獻(xiàn) [17] 和 [15, 第 260 頁] 中的 IRA 0225 號(hào)照片展示了其全貌。稍后我們將看到幾何圖形的例子。

圖2 應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的簡(jiǎn)單裝飾示例。 (a) Kufic書法。(b)花卉圖案。

雖然圖 1(a) 中的有限圖形是本文的重點(diǎn)，但我們也將列舉幾個(gè)圖 1(b) 中重復(fù)圖案的例子。Wade的檔案中包含阿格拉要塞石雕浮雕（IND 0404 和 IND 0407）和齋浦爾大君宮殿格子屏風(fēng)（IND 1019）的照片。伊斯法罕汗清真寺的木質(zhì)門板和磚砌壁畫的實(shí)例見 [1]。

正如這些例子所示，旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖在伊斯蘭世界非常普遍。除了本身是一個(gè)圖案外，它還是組織大型構(gòu)圖的有用工具，因此，人們?cè)谶@個(gè)簡(jiǎn)單的形式上運(yùn)用了各種風(fēng)格和技術(shù)來構(gòu)建復(fù)雜的設(shè)計(jì)。

圖 3 展示的是伊斯法罕星期五清真寺（Masjid-i Jami）的西側(cè)iwan。iwan是一個(gè)開放式的高拱形門廊，提供了一個(gè)用于裝飾的大門面。這個(gè)例子很有意思，因?yàn)樗形鍓K三種不同設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏板：拱門兩側(cè)的高窄板上各有兩塊，拱門正面的整個(gè)高度上都有，內(nèi)墻北側(cè)還有一塊。我們將研究這些設(shè)計(jì)和另外兩種設(shè)計(jì)的構(gòu)造。

圖3 伊斯法罕星期五清真寺的西面iwan

旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的幾何圖形

風(fēng)箏是一個(gè)凸四邊形，有兩對(duì)相鄰的等長(zhǎng)邊。我們假設(shè)風(fēng)箏不是等邊形，因此它有兩條長(zhǎng)度為 s 的短邊和兩條長(zhǎng)度為 t 的長(zhǎng)邊。如果θ是兩條長(zhǎng)邊之間的銳角，那么兩條短邊之間的鈍角就是 180°-θ。注意 θ=2tan-1(s/t)

旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的幾何形狀非常簡(jiǎn)單。將構(gòu)成外正方形的四條線稱為框架，將包圍內(nèi)正方形并從其輻射出來的四條線稱為轉(zhuǎn)子。假設(shè) x 是框架的邊長(zhǎng)，y 是轉(zhuǎn)子中小方塊的邊長(zhǎng)。那么 x = t + s，y = t - s。事實(shí)上，任何一對(duì) x、y、s 和 t 都決定了另外兩個(gè)。如果忽略刻度，整個(gè)圖形就是由θ決定的。

圖 4 展示了擺放旋風(fēng)風(fēng)箏圖案的一種方法。首先，取邊長(zhǎng)為 s+t 的正方形 ABCD，在每條邊上標(biāo)上一個(gè)點(diǎn)，將其分成長(zhǎng)度為 s 和 t 的線段，這樣長(zhǎng)線段和短線段就會(huì)交替出現(xiàn)在正方形的四周。以 E 為圓心劃一條半徑為 EA 的圓弧，以 F 為圓心劃一條半徑為 FA 的圓弧。這兩條弧相交于 G，AEGF 就是所需的風(fēng)箏。

旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖的構(gòu)造簡(jiǎn)單，但這一特性并不足以解釋其作為裝飾圖案的起源。可能是數(shù)學(xué)圖表提供了靈感。10世紀(jì)的波斯數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家阿布·瓦法(Abu 'l Wafa)撰寫了《關(guān)于工匠所需的幾何結(jié)構(gòu)》(On The Geometric Constructions for The Artisan)一書，其中提到了幾何學(xué)家和工匠之間的會(huì)議，會(huì)上介紹了理論構(gòu)造并討論了實(shí)際應(yīng)用[13]。在第 10 章中，使用了剪貼法來構(gòu)造給定面積的正方形。例如，要構(gòu)建一個(gè)面積為 5 的正方形，可以放置兩個(gè)單位正方形，使它們共用一條邊，然后沿對(duì)角線剪切所得到的矩形；兩組這些碎片加上另一個(gè)單位正方形就可以組成一個(gè)面積為 5 的正方形--圖 5(a)。移除虛線段后，就得到了圖 1(b) 中的周期圖案模板；通過在邊界正方形的邊上進(jìn)行反射，可以重復(fù)該模板。

圖4 在正方形中制作風(fēng)箏

圖5 可能的靈感來源為旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏主題。在(a)中t: s = 2:1，在(b)中t: s = 4:3。

在畢達(dá)哥拉斯定理的眾多證明中，也有類似的圖形。中國(guó)古籍《周髀算經(jīng)》中包含了以 3-4-5 三角形為例對(duì)該定理的討論--圖 5(b)。現(xiàn)存最古老的手稿是上海圖書館收藏的一份 13 世紀(jì)的副本，但其中大部分內(nèi)容要比伊斯蘭教早數(shù)百年。伊斯蘭藝術(shù)受到中國(guó)的影響，因此中世紀(jì)的伊斯蘭學(xué)者也有可能知道這個(gè)證明。

Ozdural 認(rèn)為[13]，圖 5 中的圖形可能激發(fā)了工匠們的藝術(shù)想象力。一旦知道了周期性圖案，就可以很容易地提取出旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案。他舉例說，星期五清真寺西廂房?jī)?nèi)壁上的旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案就是一種可能的應(yīng)用。像 "卍 "這樣的手性圖案廣泛存在于許多文化中，而 "回旋風(fēng)箏 "圖案似乎是伊斯蘭裝飾中獨(dú)有的。也許它的發(fā)現(xiàn)需要一些數(shù)學(xué)功夫。

變體1

圖 6(c)顯示的是以星期五清真寺西墻正面上嵌板為基礎(chǔ)的幾何設(shè)計(jì)。兩個(gè)面板都是逆時(shí)針方向。在這里，風(fēng)箏上裝飾的是在三角形網(wǎng)格上構(gòu)建的周期性圖案的一部分。圖 6(a) 顯示了圖案的六邊形重復(fù)單元。黑色圖案與 "阿里 "這個(gè)名字的常見方形Kufic文字有關(guān)。在這里，文字被截?cái)嗖⒎瓷涑鰜恚辉谕衅湛ㄅ辆磔S(Topkapi Scroll)[12] 第 91 板的中心位置，對(duì)文字進(jìn)行了很好的六邊形處理。圖 6(b)顯示了如何使用六邊形來填充一個(gè)小角度為 60° 的風(fēng)箏。雖然圖 6(c) 并非清真寺鑲板的真實(shí)再現(xiàn)（馬賽克的布局并不精確），但這種方法或類似方法顯然是其構(gòu)造的基礎(chǔ)。

圖6 伊斯法罕星期五清真寺的雙層設(shè)計(jì)。

在此，我們需要對(duì)術(shù)語做一些說明。圖中紅色線條表示設(shè)計(jì)的基本幾何結(jié)構(gòu)，但在成品中并不明顯。我們將自始至終使用這一慣例。我們還將紅線勾勒出的形狀稱為拼塊，將拼塊的集合稱為拼塊。這是為了將它們與單獨(dú)的陶瓷形狀區(qū)分開來，我們稱其為 "嵌塊"（tesserae），它們被組合在一起形成面板或馬賽克。

圖 6(c) 是一個(gè)簡(jiǎn)單的雙層設(shè)計(jì)示例：在一個(gè)設(shè)計(jì)中使用了兩種不同比例的幾何圖案。在伊斯蘭裝飾中可以找到許多多層次圖案相互作用的例子。在早期的作品中，大型圖案背景中的空隙會(huì)逐漸被花卉或幾何圖案填滿，使圖案沒有空隙。在一些最優(yōu)秀的雙層幾何設(shè)計(jì)作品中，細(xì)分等數(shù)學(xué)過程被用于生成密切相關(guān)的大尺度和小尺度圖案 [3, 4, 6, 10]。

在本文介紹的圖案中，旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖是大型圖案的基本框架，并通過以下方式對(duì)其進(jìn)行輔助裝飾：

·用書法、阿拉伯式花紋或幾何圖案填充風(fēng)箏和中央廣場(chǎng)的內(nèi)部

·用阿拉伯式花紋或幾何圖案帶勾勒出格子的輪廓，加粗框架和轉(zhuǎn)子的線條。

這兩種技術(shù)（填充和勾勒）分別對(duì)應(yīng)于Bonner [3]提出的 2 級(jí)設(shè)計(jì)分類中的 A 類和 B 類。

在雙層次設(shè)計(jì)的最佳范例中，大尺度圖案和小尺度圖案是互補(bǔ)的，即其中一個(gè)圖案的突出特征得到另一個(gè)圖案的突出或支持。圖6(c) 沒有做到這一點(diǎn)：風(fēng)箏的六邊形細(xì)分為構(gòu)建小尺度圖案提供了良好的基礎(chǔ)，小尺度圖案中的兩個(gè)方向與風(fēng)箏的長(zhǎng)邊對(duì)齊，但圖案的焦點(diǎn)不夠突出，無法在需要的地方增加重點(diǎn)。此外，風(fēng)箏是獨(dú)立處理的，而不是作為綜合圖形的一部分，因此它們的邊界沒有連續(xù)性。我們將分析的其他例子表明，要找到一個(gè)與旋渦風(fēng)箏圖的特征相匹配的小型圖案是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。

變體2

圖 7 展示的是 Madar-iShah Madrasa（國(guó)王之母或皇家神學(xué)院）的 A 型 2 層旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏設(shè)計(jì)，該學(xué)院也被稱為 Chahar Bagh Madrasa。中央大庭院的每個(gè)角落都有一個(gè)拱門，拱門通向一個(gè)八角形的小庭院，可以通往學(xué)院的各個(gè)房間。概況見 [15，第 293 頁]。旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的設(shè)計(jì)在小庭院的屋頂下方重復(fù)出現(xiàn)。該設(shè)計(jì)有兩種鏡像形式，小型圖案的構(gòu)成也各不相同。

圖7 來自伊斯法罕 Madar-i Shah 伊斯蘭學(xué)校的 A 型 2 層設(shè)計(jì)。

馬賽克是采用 "切割拼塊 "技術(shù)制作的：將涂有單色釉的大塊拼塊切割成小塊拼塊，然后將其拼接成馬賽克面板。在這里，黃色的星形磚塊標(biāo)出了隔間的形狀，并體現(xiàn)了風(fēng)箏長(zhǎng)邊和短邊 2:1 的比例。風(fēng)箏內(nèi)部由看似隨意排列的黑色和綠松石組成。這種小規(guī)模的圖案是基于一種模塊化設(shè)計(jì)系統(tǒng)，它是許多伊斯蘭圖案的基礎(chǔ) [6, 7, 10, 11]。該基本系統(tǒng)由圖 8 所示的三個(gè)等邊拼塊組成：一個(gè)規(guī)則的十邊形，上面裝飾有十個(gè)小風(fēng)箏，組成一個(gè){10/3}星形圖案；一個(gè)形似領(lǐng)結(jié)的六邊形，上面裝飾有兩個(gè)與十邊形上的風(fēng)箏相同的風(fēng)箏；還有一個(gè)凸六邊形，上面有一個(gè)梭形圖案。這些底層拼塊的邊界在馬賽克成品中并不明顯，但可以從設(shè)計(jì)中復(fù)原：黑色拼塊是拼塊上的前景圖案，黃色拼塊是十角形的中心，而綠松石拼塊則是由拼塊邊緣的背景區(qū)域融合而成。

圖8 通用模塊化設(shè)計(jì)系統(tǒng)中的元素。

拼塊的排列是模塊化系統(tǒng)在這種雙層圖案中的典型應(yīng)用：十角形拼塊的中心與大型圖案的突出特征相吻合，其他拼塊的邊緣或鏡面線與風(fēng)箏的輪廓對(duì)齊--見圖 9。然后用更多的拼塊填充隔間的內(nèi)部。在這種情況下，十角形圖案的中心是大面積圖案中線條的拐角和交界處，同時(shí)也是風(fēng)箏長(zhǎng)邊的分界線。框架上的十角形中心將每條邊分成三個(gè)相等的部分。

圖9 圖7的第一階段分析。

如果風(fēng)箏的長(zhǎng)邊和短邊的比例是 2:1，那么風(fēng)箏中的小角度θ大約是 53.13°。在馬賽克背景下，這個(gè)角度與 54°--一個(gè)與模塊化系統(tǒng)的 10 重幾何形狀相符的角度--無法區(qū)分。但是，它與旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的 4 重對(duì)稱不符。請(qǐng)注意，所有的十角形都具有相同的方向（頂點(diǎn)在頂部），僅這一點(diǎn)就將整個(gè)設(shè)計(jì)的對(duì)稱性降低為 2 重旋轉(zhuǎn)。整個(gè)圖案是不對(duì)稱的，因?yàn)槊總€(gè)風(fēng)箏都有自己的不規(guī)則填充物。

根據(jù)連接十邊形拼塊的兩個(gè)頂點(diǎn)或兩條邊的不同，大型圖案中的線條可分為兩類。連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線條由兩塊拼塊的對(duì)角線和一塊拼塊的邊緣覆蓋；其他線條（除底部中心外）則由兩塊弓形拼塊和兩塊拼塊的不同序列覆蓋。事實(shí)上，這些拼塊組合產(chǎn)生的兩個(gè)長(zhǎng)度并不完全相等，圖 9 所示的結(jié)構(gòu)是一種幾何謬誤。圖 10 顯示了左上角風(fēng)箏的小尺寸圖案及其自然幾何形狀，清楚地說明了這一點(diǎn)。請(qǐng)注意斷口內(nèi)端的兩個(gè)半領(lǐng)結(jié)拼塊。頂部中心的縫隙和邊界錯(cuò)位都很小，只要對(duì)一些棋子的大小和形狀稍作調(diào)整，就能使小比例圖案適合可用空間，而不會(huì)引起注意。

圖10 圖7中的小比例圖案的一部分，它沒有被限制為適合風(fēng)箏。

其他風(fēng)箏的填充物也做了類似的調(diào)整--在右下角的風(fēng)箏中，"問題 "被推到了風(fēng)箏的小角度，影響到了框架（如圖 9 中的不連續(xù)性所示）。

事實(shí)上，使用這種策略是不可能用拼塊完全覆蓋正方形框架的。現(xiàn)在我們將簡(jiǎn)要證明這一點(diǎn)--對(duì)技術(shù)不感興趣的讀者可以跳到下一節(jié)。

在任何由圖 8 中的三塊拼塊組成的拼塊中，所有的十邊形拼塊都有相同的方向，而領(lǐng)結(jié)和梭子形拼塊都可以出現(xiàn)在以 36°的重?cái)?shù)對(duì)齊的五個(gè)方向上。我們要求與正方形中某條直線相交的拼塊必須與該拼塊的邊線或鏡像線相交。

我們假設(shè)拼塊的邊長(zhǎng)為 1。我們將用圖 11(a) 所示的參數(shù)δ和λ來表示拼塊之間的一些距離。回想一下，正五邊形的對(duì)角線和邊的長(zhǎng)度都是黃金分割比τ。我們有：

首先，我們考慮圖 11 中的垂直距離。

（v1）邊長(zhǎng)為1。

（v2）圖11（a）中的五邊形表明十邊形的半徑（中心到頂點(diǎn)）是其邊長(zhǎng)的τ倍。

（v3）圖11（b）顯示領(lǐng)結(jié)腰部的距離為1 - 2δ。

（v4）具有關(guān)系式（v2）的圖11（c）顯示線軸的長(zhǎng)對(duì)角線為2（τ-δ）。

圖11 圖8中拼塊的屬性。

(h1) 圖 11（b）顯示領(lǐng)結(jié)的長(zhǎng)鏡面線的長(zhǎng)度為 2λ。

(h2) 回顧圖 11（b）中兩條紅線的長(zhǎng)度之比為τ，我們可以推導(dǎo)出十邊形的頂點(diǎn)（中心到邊的中點(diǎn)）為λτ。

(h3) 利用圖 11(c)和關(guān)系式 (h1) 及 (h2) 我們可以推導(dǎo)出梭子的短鏡面線的長(zhǎng)度為 2λ(τ-1)。

圖9中正方形的垂直線必須被距離（v1）–（v4）的合理組合所覆蓋。這些由δ和τ參數(shù)化，因此正方形邊長(zhǎng)必須屬于Q[√5]。正方形的水平線必須被距離（h1）–（H3）的有理組合覆蓋；這些由λ和τ參數(shù)化。雙根號(hào)λ不在域Q[√5]中。因此拼塊覆蓋的垂直和水平距離是不可通約的。

變體 3

圖 12 顯示的是從星期五清真寺西側(cè)iwan 正面拍攝的下一對(duì) A 型雙層旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏中的一個(gè)。與上一對(duì)（變體 1）一樣，兩幅圖案均為逆時(shí)針方向。馬賽克以黑色和金色為主，風(fēng)箏以白色勾勒。在 Madrasa 的設(shè)計(jì)（變式 2）中，由于使用了 10 點(diǎn)的星星而產(chǎn)生的問題在這里得到了避免，使用了 12 點(diǎn)的星星。這些星星與整個(gè)設(shè)計(jì)的 4 重對(duì)稱性以及邊框和內(nèi)部正方形四角的 90° 角相吻合。

圖12 伊斯法罕星期五清真寺的A型兩層設(shè)計(jì)。

圖 13 顯示了設(shè)計(jì)的基本結(jié)構(gòu)。12 點(diǎn)星形由圓形表示。以相鄰中心之間的距離為單位，我們可以看到風(fēng)箏的長(zhǎng)邊和短邊的比例為 4:2，因此 θ≈53.13° 。面板被細(xì)分為 20 個(gè)單位方格和 8 個(gè)邊長(zhǎng)比例為 2:1 的小風(fēng)箏。為了形成馬賽克，每個(gè)小正方形都用標(biāo)準(zhǔn)的星形圖案填充，四角的中心是 12 點(diǎn)星，中心是 8 點(diǎn)星。這種圖案覆蓋了整個(gè)面板的一半以上。小風(fēng)箏上的裝飾采用的是類似圖 10 中的蝴蝶結(jié)拼塊和梭形拼塊的拼塊，但根據(jù)十二角形拼塊方案的角度進(jìn)行了調(diào)整。12 點(diǎn)星與陰影圓中的局部幾何形狀不符（如果等距排列，則無法與風(fēng)箏的邊對(duì)齊），但這并不影響視覺。

我們已經(jīng)看過三個(gè) A 類型（填充）的例子，現(xiàn)在我們來看看 B 類型（勾勒）的例子。

圖13 對(duì)圖 12 的分析

變體 4

圖 14 顯示的是星期五清真寺西井灣內(nèi)墻著名的雙層旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案。照片 IRA 0520、IRA 0604 和 IRA 0605 提供了更廣闊的視角和一些細(xì)節(jié)[17]。

圖14 伊斯法罕星期五清真寺的 B 型 2 層設(shè)計(jì)。

勾勒出框架和轉(zhuǎn)子的條帶由 10 點(diǎn)星形片段組成。如圖 15(a)所示，將這些星星的中心點(diǎn)連接起來，就可以將條帶分成近似正方形的單元條。以正方形的邊長(zhǎng)為單位，沿著帶子的中心線測(cè)量，我們可以看到框架的每條邊長(zhǎng)為 15 個(gè)單位，而中央正方形的邊長(zhǎng)為 5 個(gè)單位。因此，每個(gè)風(fēng)箏的邊長(zhǎng)（同樣）是 2:1 的比例。

圖15 對(duì)圖 14 的分析

根據(jù)圖15(b) 所示的模板，在每個(gè)正方形單元格中填充一個(gè)圖案，就形成了小尺寸設(shè)計(jì)。這個(gè)圖案是用另一個(gè)模塊系統(tǒng)構(gòu)建的，這次有四個(gè)裝飾圖案：一個(gè)帶有{10/4}星形圖案的正十邊形、一個(gè)帶有{5/2}星形（或五角星形）圖案的正五邊形、一個(gè)帶有風(fēng)箏圖案的黃金分割等腰三角形和一個(gè)帶有箭頭圖案的梯形。該模板可以重復(fù)使用，形成周期性的星形圖案--請(qǐng)參閱 [17] 中的 IND 0705 號(hào)照片。將該模板應(yīng)用于圖 15(a) 中的正方形單元格是有問題的，因?yàn)槟０灞旧聿皇钦叫危ǜ叨燃s為寬度的 95%）。因此，需要對(duì)嵌塊進(jìn)行一些處理才能使其適合。五角星受變形的影響最大--它們?cè)隈R賽克中明顯不規(guī)則。

盡管大尺度圖案具有 4 重對(duì)稱性并被分解為正方形，但模板上的圖案卻只有 2 重對(duì)稱性。在圖 15（a）中，模板的方向用模板中心的雙箭頭圖案表示；框架周圍的副本垂直排列，而轉(zhuǎn)子中的副本則從右上角到左下角排列。

轉(zhuǎn)子中的條帶與框架中的條帶之間的夾角約為 54°，因此與模板底層的 10 重幾何圖形相吻合。這意味著小尺寸圖案中的星星和其他圖案有可能在整個(gè)設(shè)計(jì)中保持一致的排列（如變體 2）。然而，如果制作馬賽克的工匠意識(shí)到了這一點(diǎn)，要么他們認(rèn)為這一點(diǎn)并不重要，要么他們?cè)谠O(shè)計(jì)布局時(shí)犯了錯(cuò)誤。在馬賽克中，框架中的星星有一個(gè)垂直的尖頂，而轉(zhuǎn)子中的星星有一個(gè)水平的尖頂。如果將轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn) 90°，所有的星星都會(huì)有相同的排列方式，而且在轉(zhuǎn)子與框架的交界處，小比例設(shè)計(jì)也會(huì)兼容。在馬賽克中，情況并非如此，需要進(jìn)一步的變戲法來掩蓋它。

星形擺放

當(dāng)長(zhǎng)度參數(shù) x、y、s 和 t 為整數(shù)時(shí)，可以在旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖形上放置花朵或星星等離散圖案，使其中心位于圖形上，有些圖案與線條的角和交叉點(diǎn)重合，并且沿圖形所有線條等距排列。

圖 16(a) 顯示了旋風(fēng)風(fēng)箏設(shè)計(jì)的模板，其中 x = 11，y = 3。這意味著θ≈59.49°，這個(gè)角度在實(shí)際應(yīng)用中與 60°無異。該圖由正方形條帶組成；在轉(zhuǎn)子與框架相接處，條帶被簡(jiǎn)單疊加，在每個(gè)交界處相接的兩個(gè)正方形同心。

圖16 帶有 12 點(diǎn)星形圖案的新型 B 型 2 層設(shè)計(jì)。

要?jiǎng)?chuàng)建 B 型圖樣，我們需要找到一個(gè)具有正方形重復(fù)單元，并且與 90°和 60°交點(diǎn)兼容的星形圖樣。我們?cè)诖瞬唤忉屝切螆D案的構(gòu)造，相關(guān)信息請(qǐng)參見文獻(xiàn)[5, 8, 9]。不過，12 點(diǎn)星形顯然是符合這些要求的候選圖案。

圖16(c)顯示了一個(gè)傳統(tǒng)圖案的四個(gè)重復(fù)單元，該圖案取自Bourgoin的第94版[2]。它采用了另一種裝飾拼塊模塊系統(tǒng)：3 邊、4 邊和 12 邊的正多邊形，以及在等邊三角形兩邊各豎起一個(gè)直角等腰三角形而形成的盾形拼塊 [16，第 18 頁]。圖16(d)顯示了在圖16(a)的每個(gè)方格中放置該重復(fù)單元的結(jié)果；轉(zhuǎn)子和框架之間的連接采用了圖 16(b)所示的簡(jiǎn)單斜接。結(jié)果是一個(gè) B 型 2 層旋翼風(fēng)箏圖案，12 點(diǎn)星星（圖中為黃色）沿帶狀中心線等距分布。

盡管中世紀(jì)的藝術(shù)家們有可能繪制出這樣的圖案，但我們并不知道有哪件旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的主要星形圖案是沿著邊框的中心線排列的。最接近的是照片 [17] EGY 1609 中的邊框圖案，該圖案顯示了一個(gè)轉(zhuǎn)角 90° 的帶狀 12 點(diǎn)星形圖案。

在大多數(shù) 2 層設(shè)計(jì)中，小尺度設(shè)計(jì)是星形圖案，大尺度設(shè)計(jì)的決定性特征（角和交叉點(diǎn)）位于小尺度設(shè)計(jì)的星形中心。在 B 型設(shè)計(jì)中，大尺度設(shè)計(jì)的決定性特征是帶狀邊界上的角。

在圖 14 的示例中，10 點(diǎn)星形圖案的中心點(diǎn)盡可能沿帶邊均勻分布。框架的外角、中央正方形的角和風(fēng)箏的 90°角都位于星形中心。風(fēng)箏的鈍角和銳角與星形中心并不自然重合，盡管星形被放置在框架上下兩側(cè)的銳角處。

圖 17 顯示，可以設(shè)計(jì)出所有帶狀邊界長(zhǎng)度都是整數(shù)的旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏。在轉(zhuǎn)子和框架的每個(gè)交界處都有一個(gè) 3-4-5 三角形，帶寬為 4 個(gè)單位。沿帶中心線測(cè)量，x = 36，y = 12。這意味著風(fēng)箏的長(zhǎng)邊和短邊之比為 2:1，θ≈53.13°。

圖17 具有整數(shù)邊界的帶狀網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)試圖選擇一個(gè)幾何形狀與旋風(fēng)風(fēng)箏設(shè)計(jì)相匹配的星星時(shí)，最好能找到一個(gè)近似于θ的 360°的分?jǐn)?shù)。分母可以直接或通過簡(jiǎn)單的關(guān)系給出一個(gè)合適星星的點(diǎn)數(shù)。在這種情況下，3/20 是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。然而，要從多達(dá) 20 個(gè)點(diǎn)的星星上繪制圖案是很困難的。小尺度幾何圖案最自然的選擇是具有 10 重圖案的星形圖案。正如我們所見，這絕非易事。10重對(duì)稱的圖案與整個(gè)圖案的 4重對(duì)稱并不兼容：10 點(diǎn)星形圖案在整個(gè)圖案中具有相同的方向，因此一些帶狀邊界會(huì)穿過相對(duì)的尖頂，而另一些則會(huì)穿過尖頂之間。此外，還存在制作一個(gè)正方形模板來覆蓋帶狀圖案，以及在垂直和水平方向上覆蓋 3-4-5 三角形的問題。即使這樣做了，小尺度的圖案也可能會(huì)顯得過于繁瑣和復(fù)雜，不能有效地作為裝飾--大圖案和小圖案之間的尺度和明顯的復(fù)雜性差別太大了。

最后一個(gè)例子展示了解決星形擺放問題的另一種方法。

變體5

圖 18 展示了星期五清真寺的另一個(gè) B 型 2 層設(shè)計(jì)。其他視圖見 [17] 中的照片 IRA 0721 和 IRA 0722。在這個(gè)例子中，將星星放在突出位置比等間距更重要。小尺度圖案的基本結(jié)構(gòu)如圖 19 所示。將波段劃分為單元的線條連接著星形中心。從左到右，沿著圖框底部，我們可以看到四個(gè)正方形、四個(gè)矩形和最后一個(gè)正方形。每個(gè)矩形的寬度由其包含的等邊三角形決定。這種排列在框架的其他邊上重復(fù)出現(xiàn)。AB : BC = √3，因此 θ = 60°。

圖18 伊斯法罕星期五清真寺的 B 型 2 層設(shè)計(jì)。

要制作轉(zhuǎn)子，從 A 處架設(shè)一條線，與框架底部成 60°角。在框架的兩側(cè)重復(fù)上述步驟，并將四條線延長(zhǎng)，直到它們相交。例如，從 A 開始的直線與從 D 開始的直線在 E 點(diǎn)相交。這四條直線在圖形中間圍成一個(gè)正方形，并將其細(xì)分為 3×3 的全等正方形陣列。這些正方形比框架中的正方形小：EF 約為 CD 的 94%。右下方的風(fēng)箏由直線 CF 完成。注意 CF 和 DE 不是平行的，而是偏離框架的。將 CF 的中點(diǎn)標(biāo)記為 G。

這種蜂窩狀結(jié)構(gòu)為布局小尺度圖案提供了框架。主要的星形圖案有 12 個(gè)點(diǎn)，因此與條帶四角的 90°角和 60°角相匹配。中央陣列中的 16 顆星星排列整齊，使其尖頂位于晶格邊界上；相鄰星星的尖頂相觸。框架中的 12 點(diǎn)星星排列整齊，使晶格邊界在星尖之間通過--這種差異可能有助于掩蓋它們比其他星星相距更遠(yuǎn)的事實(shí)。位于 G 處的星星標(biāo)志著兩種方向的過渡，共有 13 個(gè)點(diǎn)。框架中的正方形單元中心包含 8 個(gè)點(diǎn)的星形圖案。三角形 CDG 幾乎是等邊的（C 處的夾角約為 62.19°），這對(duì)于應(yīng)用其他三角形的裝飾來說已經(jīng)足夠接近了。

每種晶格都有自己的填充物，而且這些填充物的應(yīng)用始終如一。整個(gè)圖案沒有突兀的并列或突兀的變化，而是巧妙地展現(xiàn)了各種圖案之間看似毫不費(fèi)力的過渡。

結(jié)論

上面討論的例子突出了在試圖設(shè)計(jì)和制作兩級(jí)旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏設(shè)計(jì)時(shí)遇到的一些問題。設(shè)計(jì)離散圖案（如B型圖案中沿表帶中心線均勻分布的花朵）所需的數(shù)學(xué)很簡(jiǎn)單，中世紀(jì)的工匠也能理解。研究星星圖案更加困難，但通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的一些形狀是可能的，它們的角度與星星的幾何形狀一致。盡管如此，應(yīng)用星形圖案來覆蓋樂隊(duì)仍然存在理論和實(shí)踐上的挑戰(zhàn)，中世紀(jì)的藝術(shù)家們提出了巧妙而有吸引力的解決方案。

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[18] PETER R. CROMWELL AND ELISABETTA BELTRAMI, The Whirling Kites of Isfahan: Geometric Variations on a Theme

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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