格奧爾格·康托爾于1883年寫下這樣的名句：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它超然的自主性。” 在數(shù)學(xué)家中很少有人如此徹底地信奉這個原則，也很少有人像康托爾那樣如此從根本上改變了這門學(xué)科的性質(zhì)。Joseph Dauben在對康托爾著作的研究中，把他描繪成“數(shù)學(xué)史上最富于想象力的和最有爭議的人物之一”。

來源 | 《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》

作者 | [美] William Dunham

譯者 | 李伯民 汪軍 張懷勇

康托爾出生在一個音樂世家，在他的性情中，更多的是浪漫的藝術(shù)家那一面，而不是務(wù)實的技術(shù)專家這一面。他從事的研究工作最終使他超越數(shù)學(xué)領(lǐng)域而進(jìn)入形而上學(xué)和神學(xué)的疆界。他提出了很多驚世駭俗的論斷。例如，他聲稱莎士比亞的真作是弗朗西斯·培根寫成的；再有，他認(rèn)定自己關(guān)于無窮性的理論證明了上帝的存在。康托爾堅定不移地鼓吹這樣一些信念，使他走上一條疏遠(yuǎn)支持者和助長反對者的道路。

與此同時，他在生活中也遇到麻煩。他曾一次又一次地遭受嚴(yán)重抑郁癥的折磨，以至最后釀成反復(fù)發(fā)作的躁狂抑郁癥，使他喪失一向追求的“精神活力”。康托爾一次又一次地被送往人們通常所說的神經(jīng)病院，在那里接受他們提供的治療。康托爾于1918年病逝在一家精神病醫(yī)療機構(gòu)，走完了他郁郁寡歡的人生路。

這樣的坎坷無損于康托爾在數(shù)學(xué)上取得成功。盡管遭遇不幸，他依然徹底改變了這門學(xué)科，而數(shù)學(xué)的自主性是康托爾情有獨鐘的。

1

實數(shù)的完備性

青年時代的康托爾就讀于柏林大學(xué)，成為魏爾斯特拉斯的門生。在學(xué)習(xí)期間，他于1867年寫了一篇關(guān)于數(shù)論的專題論文，這是一個完全不同于后來使他聞名于世的領(lǐng)域。他的研究工作把它引向傅里葉級數(shù)并且最終轉(zhuǎn)到分析學(xué)的基礎(chǔ)理論。

正如我們所知，19世紀(jì)把微積分的研究直接建立在極限的基礎(chǔ)之上。這時已經(jīng)清楚地看到，極限本身要依賴于實數(shù)系的性質(zhì)，其中最為重要的一個性質(zhì)就是我們現(xiàn)在所說的完備性。如今，學(xué)生們可能接觸到以不同形式表達(dá)的實數(shù)的完備性，然而它們在邏輯上是等價的，例如：

C1任何有界的非減序列收斂于某個實數(shù)；

C2任何柯西序列存在極限；

C3任何具有上界的非空實數(shù)集有一個上確界。

對于需要快速回憶的讀者，我們提醒一下，一個柯西序列{xk}是指對于每個ε > 0，存在一個正整數(shù)N，只要m和n是大于或者等于N的正整數(shù)，就有。換句話說，柯西序列是這樣一種序列，它們的項之間變得越來越接近并且保持下去。我們在第6章簡要地陳述過這種思想。

同樣，稱M為一個非空集合A的上界，是指對于A中的所有元素a，有a≤M；稱λ為A的最小上界或者上確界，是指(1) λ是A的一個上界，(2) 如果M是A的任意上界，那么λ ≤M。對于這些概念，任何一本數(shù)學(xué)分析教科書中都介紹過。

還有一種用區(qū)間套術(shù)語定義的完備性，它在下面幾章中將扮演一個重要角色。此外，為了闡明接下來做什么工作，我們需要幾個定義。

一個閉區(qū)間[a, b]嵌套在[A, B]內(nèi)，是指[a, b]是[A, B]的一個子集。這無異于說滿足條件A≤a≤b≤B。我們進(jìn)一步假定存在一個有界閉區(qū)間的序列，其中每個區(qū)間嵌套在它前面那個區(qū)間內(nèi)，如像[a1, b1] ? [a2, b2] ? [a3, b3] ?…? [ak, bk] ?…。這樣一個區(qū)間序列稱為遞減序列。利用這種序列我們可以引進(jìn)實數(shù)完備性定義的另外一種形式：

C4任何有界閉區(qū)間的遞減序列必定有同屬于所有區(qū)間的公共點。

值得回顧一下，為什么我們討論的區(qū)間必需同時是閉區(qū)間和有界區(qū)間。請看，閉區(qū)間（但不是有界區(qū)間）的遞減序列

沒有同屬于它們之中所有區(qū)間的點；同樣，有界區(qū)間（但不是閉區(qū)間）的遞減序列

（用集合論中的術(shù)語）只有一個空的交集。盡管在19世紀(jì)，分析學(xué)界的前輩們通常忽略這樣的差別，不過我們在應(yīng)用C4之前而準(zhǔn)備的區(qū)間將同時為閉區(qū)間和有界區(qū)間。

在實數(shù)完備性的這四種體現(xiàn)形式中，每一種都保證存在某個實數(shù)，它是一個序列收斂的極限，或者成為一個集合所具有的最小上界，或者是一個嵌套區(qū)間集中所有區(qū)間的公共點。在數(shù)學(xué)家們探索微積分的邏輯基礎(chǔ)的過程中，他們認(rèn)識到，這種存在對于他們在理論上追求的目標(biāo)而言通常已經(jīng)足夠了。無須明確地求出一個實數(shù)，只要得知某處存在一個實數(shù)可能就足夠了。實數(shù)的完備性所提供的就是這種保證。

人們也許會問：實數(shù)的完備性既然如此重要，那么我們?nèi)绾巫C明這種性質(zhì)的存在？為了回答這個問題，需要數(shù)學(xué)家們對實數(shù)系本身了如指掌。從自然數(shù)出發(fā)，一項直接的任務(wù)是定義整數(shù)，包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和數(shù)零，再從整數(shù)定義有理數(shù)。但是我們能夠從更基本的數(shù)系建立實數(shù)嗎，正如通過整數(shù)定義有理數(shù)那樣？

對于這個問題，給出肯定回答的是康托爾，同時，他的朋友理查德·戴德金（1831—1916）也獨立地給出這種回答。

康托爾的實數(shù)系的結(jié)構(gòu)以有理數(shù)的柯西序列的等價類為基礎(chǔ)。戴德金的方法則采用把有理數(shù)分為不相交類的劃分，也就是通常所說的“戴德金分割”。對于這些問題的徹底討論將會使我們遠(yuǎn)離正題，對本書而言，用有理數(shù)構(gòu)造實數(shù)是一個略微深奧的主題，而且對大多數(shù)分析學(xué)教程來說，這實際上也是頗為神秘的。然而，康托爾和戴德金成功地完成了這種構(gòu)造，然后運用他們的思想證明實數(shù)的完備性，作為他們新開辟的領(lǐng)域的一個定理。

可以把這個成就視為微積分同幾何學(xué)分離的決定性步驟。戴德金和康托爾最終回歸到算術(shù)的基礎(chǔ)——自然數(shù)，由此到達(dá)實數(shù)，然后證實它的完備性，而最終使全部分析學(xué)得以建立起來。他們?nèi)〉玫倪@個成就使他們兩人獲得一個貼切的但是拗口的綽號：“分析學(xué)的算術(shù)化家”。

2

區(qū)間的不可數(shù)性

康托爾在1874年寫了一篇題為“論全體實代數(shù)數(shù)的總體性質(zhì)”的論文。在這篇文章中他采用“區(qū)間的不可數(shù)性”作為標(biāo)題，選擇這個標(biāo)題并不是為了定義實數(shù)。這是數(shù)學(xué)史上的一座里程碑，用Joseph Dauben的話說，這展示了康托爾“對于提出深刻的問題以及不時探索始料未及的解法以至尋求非正統(tǒng)答案的天賦”。

很奇怪，這篇論文的重要意義被它的標(biāo)題掩蓋了，因為關(guān)于代數(shù)數(shù)的結(jié)果只不過是文章的真正革命性思想的一個推論，盡管是最有價值的推論。簡單地說，這個思想就是一個序列不能窮舉一個開區(qū)間中的全部實數(shù)。正如我們將會看到的那樣，康托爾的論證包含了實數(shù)的完備性性質(zhì)，因此把它放在實分析的領(lǐng)域是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

定理如果{xk}是不同實數(shù)的一個序列，那么實數(shù)的任何有界開區(qū)間（α, β）含有不包括在{xk}中的一點。

證明工康托爾從一個區(qū)間（α, β）開始，并且按照連貫的次序x1, x2, x3, x4, …考察序列。如果在這些項中沒有一個或者僅有一個落入（α, β）內(nèi)的無窮多實數(shù)中間，那么定理顯而易見是正確的。

撇開這種情況不談，假定區(qū)間（α, β）至少包含序列中的兩個點。這時我們來確定其中的前面兩項，即具有最小下標(biāo)的兩項。我們用A1表示較小的項，用B1表示較大的項。這個步驟在圖11-1中說明。請注意，序列的起初幾項落在（α, β）之外，但是x4和x7落到區(qū)間內(nèi)。按照我們的定義，A1 = x7（較小的項），B1 = x4（較大的項）。

圖　11-1

我們作兩點簡單然而非常重要的說明：

1. α < A1 < B2 < β；

2. 如果某個序列項xk落入開區(qū)間（A1, B1）內(nèi)，那么k ≥3。

上面第二個結(jié)論認(rèn)定，在確定A1和B1時至少要用到序列的兩個項，所以嚴(yán)格位于A1和B1之間的項必須具有k = 3或者k > 3的下標(biāo)。在圖11-1中，下一個這種候選項將是x8。

康托爾然后檢查區(qū)間（A1, B1）并且考慮同樣的兩種情形：這個開區(qū)間不包含序列{xk}中的任何項或只包含{xk}的一項；或者（A1, B1）至少包含{xk}中的兩項。在第一種情形，定理是成立的，因為在（A1, B1）中，因而在（α, β）中，存在無窮多不屬于序列{xk}的其他點。在第二種情形，康托爾重復(fù)原先的過程，選擇序列中接下來的兩項，即落入?yún)^(qū)間（A1, B1）的具有最小下標(biāo)的兩項。他把其中較小的項標(biāo)記為A2，較大的項標(biāo)記為B2。如果我們考查圖11-2（圖中包含比圖11-1更多的序列項），看出A2 = x10和B2 = x11。

圖　11-2

在此顯然也有兩個結(jié)果：

(1) α < A1 < A2 < B1 < B2 < β；

(2) 如果xk落入開區(qū)間（A2, B2）內(nèi)，那么k ≥5。

同前面一樣，得出第二個結(jié)果是因為在求A1，B1和A2，B2時必須用到序列{xk}中的四個項。

康托爾繼續(xù)采用這種方式。在任何一步，如果在開子區(qū)間內(nèi)只剩下序列的一項或者沒有序列的項，那么他能夠立即求出屬于（α, β）但是不屬于序列{xk}的一點——實際上存在無窮多這樣的點。唯一潛在的困難將出現(xiàn)在這個過程永不終止時，這種情況下會產(chǎn)生這樣兩個無窮序列{Ar}和{Br}：

1. α < A1 < A2 < A3 < … < Ar < … < Br< … < B3 < B2 < B1 < β；

2. 如果xk落入開區(qū)間（Ar, Br）內(nèi)，那么k ≥ 2 r + 1。

這樣一來，我們得到一個閉有界區(qū)間的序列[A1, B1] ? [A2, B2] ? [A3, B3] ?…，其中每個區(qū)間嵌套在它前面的一個區(qū)間內(nèi)。根據(jù)實數(shù)的完備性（C4），至少存在所有區(qū)間[Ar, Br]的一個公共點。就是說，存在一點c屬于所有r ≥1的區(qū)間[Ar, Br]。為了最終完成證明，我們只需要確定c落入?yún)^(qū)間（α, β）之中而又不是序列{xk}的一項。

我們立即證實第一個結(jié)論，因為c是在[A1, B1]?（α, β）中，所以c確實落入原來的開區(qū)間（α, β）之內(nèi)。

至于第二點，c有可能是序列{xk}的一項嗎？如果可能，那么對于某個下標(biāo)N有c = xN。由于c落入所有閉區(qū)間內(nèi)，它必定落入[AN+1，BN+1]內(nèi)，因此

由此推出c = xN落入開區(qū)間（AN, BN）內(nèi)，所以根據(jù)上面第(2) 個結(jié)果，N≥2 N+1。自然，這是荒謬的。我們由此推斷c不可能是序列{xk}中的項。

總之，康托爾證實了在區(qū)間（α, β）內(nèi)存在不出現(xiàn)在原來序列{xk}之中的一點，這就是定理要證明的結(jié)果。

而今，在這個定理前面通常要加上少許術(shù)語。如果一個集合同自然數(shù)集之間能夠一一對應(yīng)，我們把它定義為可數(shù)集。序列顯然是可數(shù)的，因為所需的對應(yīng)表現(xiàn)為下標(biāo)同自然數(shù)的對應(yīng)。不能同自然數(shù)集一一對應(yīng)的無窮集稱為不可數(shù)集。于是，我們把上述結(jié)果的特征描述為實數(shù)的任何開區(qū)間是不可數(shù)的。

康托爾關(guān)于這個問題的思想演變是很有趣的。在整個19世紀(jì)70年代初期，他都在冥思苦索實數(shù)的基本性質(zhì)，試圖建立完全同有理數(shù)分離的實數(shù)。顯而易見，完備性是一個關(guān)鍵性的差別，這種性質(zhì)在某種程度上體現(xiàn)了由實數(shù)的“連續(xù)統(tǒng)”所指的意思。

但是康托爾開始猜測這兩種集合在元素數(shù)量的充裕性上存在差異，如今我們把這種充裕性稱為它們的“基數(shù)性”。康托爾于1873年11月，把他對自然數(shù)同實數(shù)可能以某種一一對應(yīng)方式匹配的懷疑告訴戴德金。這個懷疑隱含這樣的意思，盡管兩種集合都是無限的，但是實數(shù)集的元素要多得多。

在經(jīng)過所有可能的嘗試后，康托爾未能對他的直覺猜測提供證明。他帶著某種受挫的心理寫信給戴德金說：“我異常強烈地傾向于這樣一種判斷，在自然數(shù)同實數(shù)之間不容許出現(xiàn)這樣的一一對應(yīng)，但是我沒有找到理由。” 僅在一個月之后，康托爾取得了一次突破。他把他的證明作為一份圣誕節(jié)禮物寄給戴德金，并且在收到這位朋友的建議后加以整理和發(fā)表，這就是我們在上面所見的證明。持久不懈的探索終究獲得報賞。

對于康托爾后來關(guān)于非可數(shù)性的“對角化”證明有所了解的讀者，可能會驚奇地發(fā)現(xiàn)，他在1874年給出的推理是全然不同的。對角化論證出現(xiàn)在康托爾1891年的一篇論文中，他把它描述為一種“非常簡單的證明”。正如我們所見，在1874年的證明中引用了完備性性質(zhì)，而對角化證明適用于與完備性不相干的情形，完全不同于真正的分析約束條件。

雖然后一種論證更為常見，但是前一種論證代表歷史的開端，所以在這里介紹它。我們再次強調(diào)，康托爾當(dāng)初的證明沒有使用像可數(shù)性一類的術(shù)語，也未提出關(guān)于無限基數(shù)的特別問題。所有這些都是后來引進(jìn)的。在1874年，他只證明了一個序列不可能窮舉一個開區(qū)間。

但是，為什么任何人都應(yīng)予關(guān)注呢？這是一個很有價值的問題，而康托爾得到了一個引人注目的答案。

3

再論超越數(shù)的存在

回憶一下，康托爾的論文所冠的標(biāo)題是“論全體實代數(shù)數(shù)的總體性質(zhì)”。到這時，已經(jīng)提到了代數(shù)數(shù)，但是對于這個標(biāo)題所指的這些數(shù)的“特性”尚未作任何說明。現(xiàn)在到了澄清這些遺漏問題的時候了。

我們已經(jīng)知道，如果一個實數(shù)是某個整系數(shù)多項式方程的解，那么它是代數(shù)數(shù)。有無窮多這樣的數(shù)（例如任何有理數(shù)），并且對于劉維爾來說，尋找置身于這個代數(shù)數(shù)家族之外的一個數(shù)，曾經(jīng)是一件非常困難的事情。

在對這個問題深思熟慮的基礎(chǔ)上，康托爾斷言可能用一個序列列舉出這種代數(shù)數(shù)。乍看起來，這似乎是十分荒謬的結(jié)論。為了證實他的斷言，需要生成具有兩個密切相關(guān)性質(zhì)的一個序列：(1) 序列的每一項都是代數(shù)數(shù)，(2) 每個代數(shù)數(shù)均處于序列的某個位置上。要做到這一點，一種聰明的方法必然是采用某種有序的和窮舉的方式，然而康托爾似乎不那么聰明。他卻從引進(jìn)一種新思想入手。

定義如果是一個整系數(shù)n次多項式，我們把它的高度定義為。

例如，的高度為，而的高度為(6 - 1) + 1 + 6 + 10 + 12 + 60 + 17 = 111。

顯然，一個整系數(shù)多項式的高度必定是一個自然數(shù)。不僅如此，任何代數(shù)數(shù)有一個次數(shù)最小的多項式，我們可以假定在它的系數(shù)之間不存在除1之外的公因數(shù)。這些約定將會簡化即將提出的任務(wù)。

康托爾依次收集全部代數(shù)數(shù)：首先是高度為1的多項式產(chǎn)生的代數(shù)數(shù)，其次是高度為2的多項式產(chǎn)生的代數(shù)數(shù)，然后是高度為3的多項式產(chǎn)生的代數(shù)數(shù)，如此進(jìn)行下去。這樣做是把代數(shù)數(shù)排列成一個無窮序列的關(guān)鍵步驟，在此用{ak}表示這個序列。

為了看清這個操作過程，我們注意高度為1的唯一的整系數(shù)多項式是。相應(yīng)的方程的解是第一個代數(shù)數(shù)，即。

高度為2的多項式共有4個：

置其中第一個和第二個多項式為零，產(chǎn)生解，我們不再考慮這個解。置，給出第二個代數(shù)數(shù)；置，給出第三個代數(shù)數(shù)。

我們繼續(xù)進(jìn)行。高度為3的多項式共有11個：

當(dāng)置這些多項式為零時，我們求解出4個新的代數(shù)數(shù)：

正如康托爾在其文章的標(biāo)題中指出的那樣，他的關(guān)注點僅限于實代數(shù)數(shù)，所以方程的復(fù)數(shù)解對這個集合不添加新元素。

我們再往下進(jìn)行。高度為4的多項式共有28個，從這些多項式可獲得另外12代數(shù)數(shù)，其中有幾個是無理數(shù)。例如，多項式是高度為4的多項式，由它產(chǎn)生的代數(shù)數(shù)是和。

隨著多項式高度的增加，將產(chǎn)生越來越多的代數(shù)數(shù)。反過來說，任何一個特定的代數(shù)數(shù)，必定出自某個整系數(shù)多項式，而這個多項式本身具有某個高度。例如，我們在第8章遇到的代數(shù)數(shù)是多項式方程的一個解，這個多項式的高度為111。

下面所作的幾點簡單說明使康托爾得以完成他的論證：

• 對于一個給定的高度，僅存在有限個整系數(shù)多項式。

• 每個這樣的多項式僅可能產(chǎn)生有限個代數(shù)數(shù)（因為一個n次多項式方程具有的解不會超出n個）。

• 因此，對于每個高度，僅可能添加有限個新的代數(shù)數(shù)。

這就意味著，在尋找代數(shù)數(shù)的過程中，當(dāng)我們從一個給定的高度“進(jìn)入”時，必定在有限步之后從那個高度退出。我們不可能“陷進(jìn)”這個高度的深淵，在那里試圖列舉出無限個代數(shù)數(shù)。

由此可見，具有多項式高度111的代數(shù)數(shù)必定在序列{ak}中的某處出現(xiàn)。當(dāng)然，確定它在序列中的位置還要花費一些時間，但是這個過程必定在有限步之后把我們引向到高度111，然后在遍歷這個高度的多項式過程中，再經(jīng)過有限步之后到達(dá)。這將會決定在序列{xk}中的位置。對于任何一個實代數(shù)數(shù)，我們可以作出同樣的論斷。所以，在康托爾的文章標(biāo)題中提及的代數(shù)數(shù)的那個“總體特性”，按照現(xiàn)代的說法就是代數(shù)數(shù)的“可數(shù)性”。

至此，康托爾把他獲得的兩個結(jié)果結(jié)合起來：首先，一個序列不可能窮舉一個區(qū)間中的全部點；其次，所有代數(shù)數(shù)構(gòu)成一個序列。單獨而言，這兩個結(jié)果都是很有趣的。把它們結(jié)合在一起，更使他能夠推斷所有代數(shù)數(shù)不會占據(jù)一個開區(qū)間上的全部點。因此，在任何一個開區(qū)間（α, β）內(nèi)，必定存在一個超越數(shù)。

或者，可以直截了當(dāng)?shù)卣f存在超越數(shù)。

自然，這是劉維爾在幾十年之前已經(jīng)論證的結(jié)果，那時他證明是超越數(shù)。為了證實超越數(shù)的存在，劉維爾不懈地努力并且找到了一個超越數(shù)。

康托爾通過完全不同的方法達(dá)到同一目標(biāo)。他早在1874年發(fā)表的論文中就曾許諾“對劉維爾首次證明的定理給出一個新的證明”，無疑他實踐了自己的諾言。然而，正如我們所見，在他的論證中沒有包含一個特定超越數(shù)的例子。這顯然是一種非直接的證明。

為了對比這兩種證明方法，我們用在一個干草堆中尋找一根針來作類比。我們可以想象，極端勤勞的劉維爾，穿上他的舊衣衫，徒步來到田間，在炎炎烈日之下圍繞干草堆四處翻騰。幾個小時過去了，他汗流浹背，逃避的獵物——一根針突然刺痛了他的手指。相形之下，康托爾則從容不迫，躲在屋子里運用純粹的邏輯推理方法，證明干草堆的質(zhì)量超過其中干草的質(zhì)量。他由此推斷干草堆中一定還隱藏著別的東西，就是說，質(zhì)量的超出是由一根針引起的。不像劉維爾那樣，康托爾依然涼爽如初和一塵不染。

有些數(shù)學(xué)家受到一種非結(jié)構(gòu)性證明的困擾，這種證明依賴于無窮集合的性質(zhì)。同劉維爾所做的冗長論證相比，康托爾的證明則顯得過于容易，幾乎像變戲法一樣。年輕的伯特蘭·羅素（1872—1970）對于康托爾的思想作出的第一反應(yīng)，在數(shù)學(xué)家當(dāng)中也許不是絕無僅有的。他在其自傳中寫道：

我曾經(jīng)花費很長時間研究格奧爾格·康托爾的論文，并且把他論述的各種要點記到一個筆記本中。那時，我錯誤地認(rèn)為他所作的全部論證在邏輯上是謬誤的。盡管如此，我仍然從最微小的細(xì)節(jié)上深入考察了他的全部證明。后來，當(dāng)我發(fā)現(xiàn)所有謬誤竟然屬于自己時，這反倒令我獲益匪淺。

像羅素一樣，數(shù)學(xué)家們對于作為一位革新者的康托爾給予高度贊揚。他在1874年發(fā)表的那篇論文開創(chuàng)了分析學(xué)的一個新時代，其中集合論思想在應(yīng)用上同魏爾斯特拉斯發(fā)明的ε - δ 方法并駕齊驅(qū)。

康托爾的工作取得許多重要結(jié)果，其中不少確實令人驚嘆。例如，很容易證明，如果代數(shù)數(shù)和超越數(shù)都是可數(shù)的，那么它們的并集，即全體實數(shù)的集合，必然也是可數(shù)的。由于這個結(jié)論是不正確的，康托爾由此識破超越數(shù)構(gòu)成一個不可數(shù)的集合，因此在數(shù)量上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過它們的“表親”代數(shù)數(shù)。對于這兩種數(shù)的多寡之分，Eric Temple Bell給出這樣的描述：“代數(shù)數(shù)猶如鑲嵌在長空夜幕下的點點繁星，而濃黑的萬里長空則是超越數(shù)的蒼穹。” 這是一種令人陶醉的難以想象的感受，因為充足的數(shù)似乎是稀疏的，而稀疏的數(shù)似乎是充足的。在一定的意義上，康托爾證明了超越數(shù)是干草堆中的干草而不是掉進(jìn)草堆中的針。

還有一個相關(guān)的但意義更深遠(yuǎn)的結(jié)果，那就是 “小”無窮集合同“大”無窮集合之間的區(qū)別。康托爾證明了，一個可數(shù)集盡管是無窮的，然而當(dāng)把它和不可數(shù)集相比時，它的無窮性卻是無足輕重的。隨著他的思想的確立，數(shù)學(xué)家們逐漸認(rèn)識到，在解決重要問題中，如此不值一提的可數(shù)集無疑是值得使用的。

我們將會看出，小集合和大集合之間的對立也會出現(xiàn)在其他的分析學(xué)環(huán)境中。在19世紀(jì)初，勒內(nèi)·貝爾發(fā)現(xiàn)了一種“大”與“小”的對比，這種分歧出現(xiàn)在他所說的集合的“類型”中，而亨利·勒貝格在他稱為“測度”的度量中發(fā)現(xiàn)了另外一種對比。雖然基數(shù)、類型和測度是不同范疇的概念，但是它們都提供一種比較集合的手段，在數(shù)學(xué)分析中被證實是很有價值的。

康托爾還致力于解決有關(guān)無窮集合的其他問題。其中之一是：“存在比區(qū)間的基數(shù)更大的不可數(shù)集嗎？”關(guān)于這個問題他給出肯定的回答。另外一個問題是：“存在基數(shù)介于可數(shù)序列和不可數(shù)區(qū)間之間的一種無窮集合嗎？”在解決這個問題時，他沒有取得成功。由于康托爾的遠(yuǎn)見卓識和不斷的研究，集合論迎來了它自身的發(fā)展時期，在這個階段它完全脫離固有分析學(xué)所關(guān)注的問題。不過，這一切都源于1874年康托爾所寫的那篇論文。

同許多推翻歷史的革命家不一樣，康托爾在有生之年親眼見到他的思想被廣大學(xué)術(shù)界接受。一位最早的推崇者是上面提到羅素，他把康托爾描繪為“19世紀(jì)最偉大的知識分子之一”。這是出自一位數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和諾貝爾獎得主的非同尋常的贊譽。

康托爾的另外一位贊頌者是意大利的數(shù)學(xué)奇才維托·沃爾泰拉。他的工作將魏爾斯特拉斯的分析學(xué)同康托爾的集合論巧妙地結(jié)合在一起。

《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》

作者：鄧納姆

譯者：李伯民 汪軍 張懷勇

本書榮獲“第七屆文津圖書獎推薦書目”。

這不是一本數(shù)學(xué)家的傳記，而是一座展示微積分宏偉畫卷的陳列室。書中的每一個結(jié)果，從牛頓的正弦函數(shù)的推導(dǎo)，到伽瑪函數(shù)的表示，再到貝爾的分類定理，無一不處于各個時代的研究前沿，至今還閃爍著耀眼奪目的光芒。