女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)不僅能將許多眾所周知的現(xiàn)象可視化，還能為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是幾何問(wèn)題提供一種新方法?？梢哉f(shuō)，在過(guò)去幾年中，數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支正在發(fā)展，它被稱為“可視數(shù)學(xué)”[6]。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)作為一種新的探索媒介所具有的巨大潛力，在該技術(shù)問(wèn)世后不久就被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)。隨著顯示設(shè)備和編程方法的日益成熟，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)在數(shù)學(xué)問(wèn)題上應(yīng)用的深度和廣度也在不斷增加。但這并不意味著藝術(shù)家和數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)課題上不再有手工繪圖和插圖的空間。

荷蘭圖形藝術(shù)家埃舍爾（M.C. Escher）的生平和作品是藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間關(guān)系最有趣的例子之一。在Michele Emmer始于 1978 年的 "藝術(shù)與數(shù)學(xué) "項(xiàng)目中，這個(gè)話題被多次提及。在過(guò)去的二十年里，該項(xiàng)目制作了電影、錄像帶、軟件以及許多 "傳統(tǒng) "論文和書籍。在這個(gè)項(xiàng)目中，Michele Emmer制作了一部關(guān)于埃舍爾作品的電影和一段視頻，其中有數(shù)學(xué)家羅杰-彭羅斯爵士（Sir Roger Penrose）和考克斯特（H.S.M. Coxeter）以及晶體學(xué)家卡羅琳-麥吉拉弗里（Caroline MacGillavry）的評(píng)論[4]。在制作視頻時(shí)，Michele Emmer的想法是使用這位荷蘭藝術(shù)家的原畫制作所有動(dòng)畫，以制作一部 "埃舍爾模式 "的電影。埃舍爾并不了解計(jì)算機(jī)制圖，因?yàn)樗?1972 年去世，當(dāng)時(shí)這項(xiàng)技術(shù)尚未普及。

在數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和藝術(shù)家的合作下，各方還組織了一些會(huì)議和展覽。國(guó)際會(huì)議 "M.C.埃舍爾：埃舍爾：藝術(shù)與科學(xué) "國(guó)際會(huì)議于 1985 年在羅馬舉行[3]，1998 年在羅馬和拉韋洛舉行的埃舍爾百年紀(jì)念會(huì)議重點(diǎn)討論了埃舍爾作品的視覺(jué)、數(shù)學(xué)和藝術(shù)方面。(為這次大會(huì)建立了一個(gè)網(wǎng)站：
http://mercurio.mat.uniromal.itlescher981）

平面藝術(shù)家 M. C. 埃舍爾（1898-1972 年）

莫里斯·科內(nèi)利斯·埃舍爾出生于 1898 年。他的故事很不尋常：在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，他的作品幾乎完全不為人知，也不被人欣賞。在意大利的 20 年中，他只舉辦過(guò)幾次展覽。然而，在 20 世紀(jì) 60 年代的某一時(shí)刻，他的名氣開(kāi)始增大，尤其是在科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和晶體學(xué)家中間。埃舍爾與科學(xué)家（尤其是數(shù)學(xué)家）的關(guān)系史對(duì)于了解這位荷蘭藝術(shù)家如何看待自己的作品相當(dāng)有趣。埃舍爾的第一次大型作品展是在 1954 年阿姆斯特丹國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)期間舉辦的。這次展覽除了向數(shù)學(xué)家們介紹埃舍爾的作品外，還讓埃舍爾有機(jī)會(huì)結(jié)識(shí)了唐納德·考克斯特（H.S.M. (Donald) Coxeter）和羅杰·彭羅斯（Roger Penrose），并與他們建立了長(zhǎng)期而富有成效的關(guān)系。

數(shù)學(xué)家 N.G. de Brujin 在 1954 年展覽目錄的導(dǎo)言中寫道，他感興趣的不僅是埃舍爾的幾何圖形，他還著迷于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中同樣存在的想象力，對(duì)許多學(xué)者來(lái)說(shuō)，這種想象力是他們工作中最有趣的部分。N.G. de Brujin還說(shuō)，大會(huì)與會(huì)者會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，他們的想法是以如此不同的方式表達(dá)出來(lái)的。顯然，即使在當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們也意識(shí)到埃舍爾并不僅僅是科學(xué)和數(shù)學(xué)思想的插畫家，而是以一種不同尋常的方式表達(dá)了更深層次的東西。

埃舍爾將自己定義為平面藝術(shù)家，這并非毫無(wú)道理。在1965年獲得希爾弗瑟姆市文化獎(jiǎng)時(shí)，他在獲獎(jiǎng)感言中解釋道：

如果我沒(méi)弄錯(cuò)的話，“藝術(shù)”和“藝術(shù)家”這兩個(gè)詞在文藝復(fù)興之前或期間并不存在:只有建筑師、雕塑家和畫家在從事一門手藝。

印刷是另一門誠(chéng)實(shí)的手藝，我認(rèn)為能成為平面藝術(shù)家協(xié)會(huì)的會(huì)員是我的榮幸。用鑿子切割，用鏨子在絕對(duì)光滑的磨光木塊上雕刻，這并不是什么值得驕傲的事情--這只是一件好工作。只是隨著年齡的增長(zhǎng)，速度會(huì)越來(lái)越慢，難度會(huì)越來(lái)越大，木屑也不會(huì)像以前那樣在工作間里亂飛。

因此，雖然我覺(jué)得 "藝術(shù)家 "這個(gè)稱謂很難堪，但我是一個(gè)有血有肉的平面藝術(shù)家。[1，第 125 頁(yè)]和[7，第 22 頁(yè)］

埃舍爾說(shuō)，他一生中最重要的事件發(fā)生在1938年，當(dāng)時(shí)埃舍爾一家在長(zhǎng)期居住后離開(kāi)了意大利?！霸谌鹗?、比利時(shí)和荷蘭……我發(fā)現(xiàn)這里的景觀和建筑的外觀不像意大利南部那樣引人注目。因此，我感到不得不從我周圍的或多或少直接和現(xiàn)實(shí)的說(shuō)明中退出。毫無(wú)疑問(wèn)，這種情況在很大程度上促成了我內(nèi)心的幻想。”[8，第7頁(yè)]

他的第一本書《埃舍爾的圖形作品》中的所有插圖作品，除了前七幅之外，都是為了傳達(dá)這些內(nèi)部幻象的細(xì)節(jié)而創(chuàng)作的。埃舍爾說(shuō)："這些作品的基本思想往往見(jiàn)證了我對(duì)我們周圍世界運(yùn)行的自然法則的驚奇和驚嘆。驚嘆者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這本身就是一個(gè)奇跡。通過(guò)敏銳地直面我們周圍的謎團(tuán)，通過(guò)思考和分析我所做的觀察，我最終進(jìn)入了數(shù)學(xué)領(lǐng)域。雖然我完全沒(méi)有受過(guò)精密科學(xué)的訓(xùn)練，也沒(méi)有精密科學(xué)的知識(shí)，但我與數(shù)學(xué)家的共同之處似乎常常多于與我的藝術(shù)家同行的共同之處"。[埃舍爾的最后兩句話完美地概括了這位藝術(shù)家與科學(xué)界建立的關(guān)系。埃舍爾本人認(rèn)為科學(xué)家是他的特權(quán)觀眾，這一點(diǎn)毋庸置疑。

埃舍爾逝世于1972年，因此沒(méi)有機(jī)會(huì)見(jiàn)證他的木刻和石版畫所經(jīng)歷的流行熱潮。如今，從設(shè)計(jì)師到計(jì)算機(jī)圖形專家，從科學(xué)家到精神分析師，從學(xué)生到建筑師，他的作品在全世界家喻戶曉。埃舍爾這位藝術(shù)家得到了大眾的廣泛認(rèn)可，卻很少得到藝術(shù)史學(xué)家的關(guān)注。

埃舍爾：視頻

第一本埃舍爾作品集《M.C. 埃舍爾的世界》[10] 的書名非常貼切。埃舍爾創(chuàng)造了自己的世界，這個(gè)世界由精心構(gòu)建的圖像組成，是一個(gè)既夢(mèng)幻、充滿想象力，又現(xiàn)實(shí)、連貫而超脫的魔幻世界，他用一雙顯然缺乏情感的眼睛來(lái)觀察這個(gè)世界。埃舍爾是一位注重微小細(xì)節(jié)的藝術(shù)家，這些微小的元素造成了不穩(wěn)定性，擾亂了表面平靜的整體。關(guān)于這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)家布魯特（C.P. Bruter）寫道，眼睛會(huì)產(chǎn)生局部圖像，這些圖像一點(diǎn)一點(diǎn)地投射到一個(gè)共同的容器上，可能會(huì)被復(fù)制幾百萬(wàn)次。這些由觀眾眼球運(yùn)動(dòng)所勾勒出的軌跡所定義的單個(gè)地圖的構(gòu)建，使人們能夠構(gòu)建出一個(gè)穩(wěn)定而有序的周圍空間圖像。埃舍爾的繪畫只是看起來(lái)很奇怪，因?yàn)槊總€(gè)單獨(dú)的圖像都忠實(shí)地再現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)。[2, p. 222]

這是使用電影攝影機(jī)來(lái)研究埃舍爾作品的第一個(gè)原因：電影技術(shù)首先讓我們把注意力集中在電影制作者想讓我們看到的東西上。電影迫使我們把自己當(dāng)作埃舍爾世界的一部分來(lái)看待。我們不會(huì)被任何其他東西分心。第二個(gè)原因是埃舍爾的繪畫技巧非常精確細(xì)致。電影技術(shù)使我們既能將這些微小的細(xì)節(jié)分離出來(lái)，又能將它們放大許多倍，從而欣賞到藝術(shù)家的精確手法。使用電影的另一個(gè)重要因素是，電影迫使觀看者看到屏幕上的事物按照一定的順序快速流逝。埃舍爾的許多作品就像一個(gè)故事，必須按照埃舍爾自己提出的順序來(lái)觀察。在這幾個(gè)方面，電影攝影機(jī)允許對(duì)埃舍爾的作品進(jìn)行非常精確和準(zhǔn)確的分析。

埃舍爾本人也建議使用電影技術(shù)。他在《平面規(guī)則分割》一書中寫道：

在這本書中，首先出現(xiàn)的是圖像而不是文字... 對(duì)我來(lái)說(shuō)，本書的六幅木刻中所展示的白色和黑色圖形的游戲是屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是藝術(shù)領(lǐng)域，這仍然是一個(gè)未決問(wèn)題。......[1，第 155 頁(yè)]和[7，第 92 頁(yè)］

......第一幅木刻......清楚地表明，通過(guò)連續(xù)漸變的圖形可以創(chuàng)作出圖畫中的故事。與此類似，中世紀(jì)的藝術(shù)家們用一系列靜態(tài)圖畫來(lái)描繪圣人的生活......。觀察者需要依次觀看每個(gè)階段。由于整個(gè)故事需要一定的時(shí)間，這一系列靜態(tài)的表現(xiàn)形式便具有了動(dòng)態(tài)的特征。電影放映與此形成鮮明對(duì)比。圖像一個(gè)接一個(gè)地出現(xiàn)在靜止的屏幕上，而觀察者的視線則是固定不動(dòng)的。而在中世紀(jì)的圖畫故事和平面規(guī)則分割的發(fā)展模式中，圖像是并排出現(xiàn)的，時(shí)間因素被轉(zhuǎn)移到了觀察者的眼睛從一幅圖像到另一幅圖像的移動(dòng)過(guò)程中。[1, 第 158 頁(yè)] 和 [7, 第 98 頁(yè)］

埃舍爾的《變形》版畫是"一連串逐漸變化的圖形"的一個(gè)非常重要的例子，它總結(jié)了埃舍爾所注意到的各個(gè)方面。特別是他的《變形II》，在我們看來(lái)是一個(gè)完美的電影序列。我們把這件作品的動(dòng)畫作為視頻的最后一個(gè)序列。埃舍爾在《平面規(guī)則分割》中題為 "變形 "的章節(jié)中，對(duì)這幅作品中的一個(gè)圖像序列作了如下描述：

首先，黑色的昆蟲(chóng)剪影組合在一起；在它們接觸的瞬間，白色背景變成了魚的形狀。然后，人物和背景變換了位置，可以看到白色的魚在黑色背景中游動(dòng)...........。[一連串的人物形象經(jīng)過(guò)多次變形后，便具有了動(dòng)態(tài)特征。上文我指出了投影在銀幕上的一系列電影畫面與平面規(guī)則分割中的一系列圖形之間的區(qū)別。雖然在后者中，圖形是同時(shí)并排顯示的，但在這兩種情況下，時(shí)間因素都起著作用。[1，第 170 頁(yè)] 和 [7，第 120 頁(yè)］

1964年，埃舍爾去加拿大看望他的兒子喬治。他受到美國(guó)一些組織的邀請(qǐng)，包括麻省理工學(xué)院和貝爾實(shí)驗(yàn)室，介紹他的工作。抵達(dá)加拿大后不久，埃舍爾不得不被圣·米迦勒的醫(yī)院接受緊急手術(shù)。所有的演講任務(wù)都不得不取消，埃舍爾再也沒(méi)有機(jī)會(huì)做他精心準(zhǔn)備的演講了。以他一貫的一絲不茍的態(tài)度，他寫下了他演講的完整英文文本，這些文本被保存了下來(lái)。它們于1989年發(fā)表在《埃舍爾論埃舍爾:探索無(wú)限》中。標(biāo)題為“從未上過(guò)的課”的那一章包含了這堂課。(我們應(yīng)該注意到，講座，但不是由埃舍爾。筆記和講座幻燈片被送到哈佛大學(xué)的亞瑟·勒布那里，他在埃舍爾不在的時(shí)候在馬薩諸塞州列克星敦的Ledgemont實(shí)驗(yàn)室做了講座。)這個(gè)講座的最后一部分是致力于《變形II》(這部作品的一個(gè)大的、連續(xù)的復(fù)制品可以在[11]中找到)。

最后，我想向大家展示一幅長(zhǎng)達(dá)13英尺的木刻作品。它太長(zhǎng)了，無(wú)法用一張幻燈片甚至兩張幻燈片來(lái)展示，所以我把它拍成了六個(gè)部分，我可以把這六個(gè)部分分成三對(duì)連續(xù)展示，請(qǐng)大家把它當(dāng)作一張不間斷的紙來(lái)觀看。

這是一個(gè)由許多連續(xù)的轉(zhuǎn)變階段組成的圖畫故事?！白冃巍边@個(gè)詞本身就是一個(gè)出發(fā)點(diǎn)。在平面內(nèi)水平和垂直放置，以字母0和M為交點(diǎn)，文字逐漸轉(zhuǎn)化為黑白方塊的馬賽克，進(jìn)而發(fā)展為爬行動(dòng)物。如果允許與音樂(lè)進(jìn)行比較，有人可能會(huì)說(shuō)，到目前為止，旋律是以兩個(gè)四分之一拍寫成的。

現(xiàn)在，節(jié)奏發(fā)生了變化：白色和黑色中加入了藍(lán)色元素，變成了四分之三拍。漸漸地，每個(gè)圖形都簡(jiǎn)化為一個(gè)規(guī)則的六邊形。這時(shí)，一個(gè)聯(lián)想產(chǎn)生了：六邊形讓人聯(lián)想到蜂巢的細(xì)胞，而這個(gè)想法剛剛產(chǎn)生，蜜蜂幼蟲(chóng)就開(kāi)始在每個(gè)細(xì)胞中蟄動(dòng)。轉(zhuǎn)眼間，每一只成蟲(chóng)都發(fā)育成了成熟的蜜蜂，很快這些昆蟲(chóng)就飛向了太空。

我的蜜蜂的壽命很短，因?yàn)樗鼈兊暮谏喞芸炀蜁?huì)合并到另一個(gè)交界處，即為白色魚類提供背景。反過(guò)來(lái)，這些魚也會(huì)相互融合，中間的空隙就變成了黑鳥(niǎo)的形狀。然后，在遠(yuǎn)處的白色背景中，出現(xiàn)了紅色小鳥(niǎo)的輪廓。它們的體型不斷變大，很快就能與黑色鳥(niǎo)類的輪廓相媲美。然后，剩下的白色背景也變成了鳥(niǎo)的形狀，這樣，三只鳥(niǎo)的圖案，每只都有自己特定的形狀和顏色，現(xiàn)在以一種有節(jié)奏的模式布滿了整個(gè)畫面。

再一次簡(jiǎn)化：每只鳥(niǎo)都變成了一個(gè)菱形，這就產(chǎn)生了第二種聯(lián)想：由三個(gè)菱形組成的六邊形產(chǎn)生了塑性效果，從視角上看就像一個(gè)立方體。從立方體到房屋只有一步之遙，而從房屋中又建起了一座城鎮(zhèn)。這是一個(gè)典型的意大利南部地中海小鎮(zhèn)，在阿馬爾菲海岸經(jīng)常可以看到薩拉森塔矗立在水中，通過(guò)一座橋與海岸相連。[這里是阿特拉尼鎮(zhèn)。]

M.C .埃舍爾《變形Ⅱ》1939-1940。木刻

參考文獻(xiàn)

[I] F.H. Bool, 1.R. Kist, 1.L. Locher, and F. Wi erda, eds., M.e. Escher: His Life and Complete Graphic Work, New York, Harry N. Abrams, 1982.

[2] C.P. Bmter, Topologie et Perception, Maloine-Doin, Paris, 1976, vol. II.

[3] H.S.M. Coxeter, M. Emmer, R. Penrose, M. Teuber, eds., M.e. Escher: Art and Science, Amsterdam, North-Holland, 1986.

[4] M. Emmer, The Fantastic World of M.e. Escher, video, 50 minutes, Film 7 IntI., production 1994. English: USA and Japan - Acorn Media; other - SpringerVerlag, Berlin. Italian, French, and Spanish: M. Emmer (http://space.virgilio.itlm.emmer@virgilio.it).

[5] M. Emmer, "Movies on M.C. Escher and their Mathematical Appeal," in [3], pp.249-262.

[6] M. Emmer, ed., The Visual Mind: Art and Mathematics, The MIT Press, Boston, 1993.

[7] M.C. Escher, Escher on Escher: Exploring the Infinite, New York, H.N. Abrams, 1989.

[8] M.e. Escher, The Graphic Work of M. e. Escher, Meredith Press, 1960 (reprinted 1996, New York, Wings Books).

[9] M.e. Escher, Regelmatige Vlakverdeling, De Roos Foundation, Utrecht, 1958; translated Regular Division of the Plane and reprinted in [1], pp.155-173, and in [7], pp. 90-122.

[10] J.L. Locher, ed., The World of M.e. Escher, 1972.

[11] J.L. Locher et aI., The Magic of M.e. Escher, New York, Harry N. Abrams, 2000.

[12] Michele Emmer, M.C. Escher: Art, Math, and Cinema

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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