雙中點問題解法探究

2024年東湖高新區五調第23題

上周在微信群里對2024年武漢市東湖高新區五月模擬考試第23題的解法進行了探究，這道題屬于典型的雙中點問題，通常情況下，雙中點問題可關聯的解法非常多，例如構造中位線、中線倍長、相似三角形等，作為幾何綜合壓軸題，對學生構圖要求比較高。

因此我們對解法研究的重點是，如何讓學生想到？包括在講題過程中，如何引導學生想到？在觀察學生思考解法的過程中，如何“斷點續傳”？在講完之后，如何幫助學生歸納整理？

題目

解析：

01

(1)對于△ABC∽△EDC中的比例線段，我們選擇底：腰，即BC:AC=DC:EC，這一組比例線段恰好是△CBD和△CAE的對應邊，再加上∠ACB=∠ECD，于是得∠BCD=∠ACE，所以△CBD∽△CAE；

02

(2)條件“M、N分別是BE、AD中點”，極易讓人聯想到三角形中位線，再加上求證AE=2MN，也確實是中位線定理結論之一，至少形式上很像，但MN本身并不是圖中任何三角形的中位線，所以構造中位線是首選方法；

方法一：

延長BA至點F，使NF=BN，再連接EF，如下圖：

這種方法的好處就在于，直接構造出△BEF，使MN是它的中位線，這樣我們得到了EF=2MN，于是只需要證明EF=AE即可；

由BN=FN，DN=AN可得BD=AF，而在第1問的結論中，我們有△CBD∽△CAE，于是得BD:AE=BC:AC，交換比例內項之后得BD:BC=AE:AC，再將其中的BD替換成AF，AC替換成AB，得AF:BC=AE:AB，這一組比例線段恰好是△AEF和△ABC的兩組對應邊；

同樣在第1問結論中，我們有∠CBD=∠CAE，再加上∠CBD=∠ACB，所以∠ACB=∠CAE，所以AE∥BC，由平行可知∠EAF=∠ABC，因此△ABC∽△EAF，即△EAF也是等腰三角形，兩腰分別是AE和EF，完成了思路閉環，最后得到AE=2MN；

方法二：

取DE中點G，連接NG、MG，如下圖：

嚴格講，方法二和方法一屬同類方法，只不過構造中位線的位置有所不同，由輔助線作法，我們很快能得到AE=2NG，于是接下來我們的任務是證明MN=NG；

方法一中某些結論在這里不再重復證明，我們首先得到兩條中位線，分別是NG和GM，它們是△ADE和△BDE的中位線，所以NG∥AE，GM∥BD，則∠MGN=∠ANG，再加上已經證明過AE∥BC，則NG∥BC，于是∠ANG=∠ABC，仍然由△CBD∽△CAE得BD:AE=BC:AC，將其中AE替換成1/2NG，BD替換成1/2GM，得GM:NG=BC:AC，我們又一次得到△ABC∽△MGN，即△MGN也是等腰三角形，所以MN=NG，最后也得到AE=2MN；

方法三：

連接EN并延長至點H，使HN=EN，連接BH，如下圖：

只不過換了個方向構造新的中位線，顯然BH=2MN，于是我們的任務是證明AE=BH；

首先可以證明△ANE≌△DNH，所以AE=DH，順便證明AE∥DH，由前面方法一中AE∥BC，得DH∥BC，所以∠BDH=∠ABC；

依然由△CBD∽△CAE，得BD:AE=BC:AC，將AE替換成DH，AC替換成AB，得BD:DH=BC:AB，再加上夾角∠BDH=∠ABC，得△ABC∽△BDH，即△BDH是等腰三角形，所以DH=BH，然后證明了AE=DH，最后得到AE=2MN；

03

(3)在充分理解了整個圖形內在聯系之后，本小問直接可以秒掉了，取AB中點N，則直線MN為點M運動軌跡，如下圖：

由于AE∥BC，且MN為△ABE中位線，所以點C到直線MN的最短距離，即當CM⊥MN時，這個最短距離恰好是△ABC斜邊上高的一半，因此結果是1/2.

解題反思

我們不妨將第2問的三種方法復盤，發現無論哪一種，都是構造出新的中位線，完成了某兩條線段的2倍關系，方法一是將AE轉換成EF，而EF與MN之間的2倍關系非常容易得到；方法二是將MN轉換成NG，而AE與NG之間的2倍關系容易得到；方法三是將AE轉換成BH，因為BH與MN之間的2倍關系容易得到；

而在轉換過程中，我們都是通過構造出新的等腰三角形來實現等量代換，方法一中的△AEF，方法二中的△MGN，方法三中的△BDH，都起到同樣的作用，如下圖：

這些三角形都與△ABC相似，并且我們都采用了同一種判定方法，即兩邊對應成比例，夾角相等。

相似三角形在幾何綜合題中經常遇到，所以我們有必要從課標中尋找對其的難度標高，從而精準命題或者有效備考。

新課標中，對于名詞“了解”解釋如下：

從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或舉例說明對象.

在圖形相似版塊中，①②④⑤⑥均定義為“了解”，而對于③則是“掌握”，對于⑦則是“運用”，并且給出了例81，如下圖：

這就是最為典型的“運用”題例，從具體情境中抽象出相似三角形，并利用其中的成比例線段的關系來解決問題。

本題中的相似三角形，基本符合新課標中對相似內容的要求，只是個人認為其中需要交換比例項稍微拔高了一點，但在幾何綜合壓軸題中，這一點可以接受。

至于在命題中設置幾次相似，并沒有規定，只要符合課標要求即可，但涉及到比例式的變換，例如合比、等比性質，則明顯超綱，或者需要多次交換比例項，人為增加恒等變形復雜度，并不符合新課標。

本題中第2問的輔助線添加，盡管有三種不同的添加方式，但它們的證明過程大同小異，基本可算同一類方法，如果幫助學生歸納總結，構造中位線，進行等量轉換是其核心，至于在哪構造，如何轉換，就看學生思考方向了，畢竟題目條件中出現“兩個中點”，“線段2倍”等關鍵詞，也是暗示學生朝這個方向去努力，導向正確，解法不難得。

尤其是對于在思考過程中，沒有想到構造中位線的學生，則需要仔細詢問他們原本的意圖，是否偏離了主線，然后從偏離的那個點開始，換條路繼續，直到成功。