幾何中的代數(shù)關(guān)聯(lián)

2024年上海中考數(shù)學(xué)第25題

對(duì)于幾何壓軸題中常見(jiàn)的圖形研究，通常情況下會(huì)從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面入手，圖形間存在特定位置關(guān)系時(shí)，一定伴隨相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，反過(guò)來(lái)，當(dāng)圖形間存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，也一定存在某類位置關(guān)系；

對(duì)于解題，需要分析圖形特征，尋找圖形間的這兩種關(guān)系。其中學(xué)生感覺(jué)較為困難的，是尋找它們之間的數(shù)量關(guān)系，即代數(shù)關(guān)聯(lián)。

在三角形中，三邊間的數(shù)量關(guān)系最初是由線段公理推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論“三角形兩邊之和大于第三邊”，然而這是個(gè)不等關(guān)系，等量關(guān)系則在勾股定理中出現(xiàn)，而且還是特殊直角三角形，當(dāng)然，一般三角形也存在類似的數(shù)量關(guān)系，高中我們會(huì)進(jìn)一步接觸。在兩個(gè)三角形之間，有全等、有相似，可列比例式，構(gòu)造更多邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，再與勾股定理結(jié)合起來(lái)，對(duì)一般學(xué)生而言，難度一下子就上去了。

題目

解析：

01

(1)條件中的平行、比例關(guān)系，顯然需要構(gòu)造比例線段，可以用平行線分線段成比例，也可以構(gòu)造相似三角形；

0 1

方法一：

連接DE并延長(zhǎng)，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如下圖：

由AD∥BC，我們借此構(gòu)造出了一對(duì)相似三角形，△ADE∽△GBE，再由AE=1/3AB求得它們的相似比為1:2，則DE=1/2GE，所以DE=1/3DG，再加上DF=1/3CD，公共角，可得△DEF∽△DGC，于是能夠證明EF∥BC；

0 2

方法二：

連接AF并延長(zhǎng)，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如下圖：

和方法一類似，只不過(guò)先由△ADF∽△GCF，再到△AEF∽△ABG；

0 3

方法三：

過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD，在AH上取點(diǎn)G，使AG=1/3AH，連接EG、FG，如下圖：

由AE=1/3AB，AG=1/3AH，加上公共角，可證△AEG∽△ABH，可得到EG∥BH，因?yàn)锳H∥CD，AD∥BC，可得平行四邊形AHCD，所以AH=CD，再加上DC=1/3CD，可證明AG=DF，于是得平行四邊形ADFG，所以AD∥FG，可得FG∥BC，前面已證EG∥BH，故E、G、F三點(diǎn)共線，最后得到EF∥BC；

0 4

方法四：

過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB，在DH上取點(diǎn)G，使DG=1/3DH，連接EG、FG，類似方法三，不再重復(fù)；

0 5

方法五：

過(guò)點(diǎn)E作GH∥CD，分別交DA延長(zhǎng)線、BC于點(diǎn)G、H，如下圖：

易證△AEG∽△BEH，得EG=1/3GH，由GH∥CD，AD∥BC得平行四邊形GHCD，于是GH=CD，而DF=1/3CD，所以EG=DF，得平行四邊形GEFD，所以EF∥AD，最后EF∥BC；

0 6

方法六：

延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)G，如下圖：

易證△GAD∽△GBC，得GA:GB=GD:GC，即GA:3AE=GD:3DF，所以GA:AE=GD:DF，加上公共角得△GAD∽△GEF，可證明AD∥EF，最后得EF∥BC；

02

(2)當(dāng)AD=AE=1時(shí)；

①連接DE之后，得等腰△ADE，它的外接圓圓心是三邊垂直平分線交點(diǎn)，于是過(guò)點(diǎn)A作DE的垂線AF，由等腰三角形三線合一，可知AF即DE的垂直平分線；再作AE邊上的垂直平分線GO，與AF延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，則△ADE外接圓的圓心就是點(diǎn)O；

連接BO，由題目條件可知BO是∠ABC的角平分線，如下圖：

在等腰△ADE中，∠AED=1/2(180°-∠BAD)，而由AD∥BC可得∠BAD+∠ABC=180°，再加上BO是角平分線，于是∠ABO=1/2(180°-∠BAD)，所以∠AED=∠ABO，我們證明了DE∥BO，即∠AOB=∠AFE=90°；

由DE∥BO可得AF:AO=AE:AB=1:3，不妨設(shè)AF=x，則AO=3x，同時(shí)AB=3；

易證Rt△AOG∽R(shí)t△ABO，得AO:AB=AG:AO，于是3x:3=1/2:3x，解得x=√6/6，即AO=√6/2；

②由條件CD2=DM·DN，再加公共角可證△DCN∽△DMC，于是∠DCN=∠DMC，再由∠DMC=∠CEM，于是這三個(gè)角都相等即∠DCN=∠DMC=∠CEM，如下圖：

圖中AE=AD=1，AB=3，可求出BE=2；顯然EM∥CD，不妨延長(zhǎng)BA、CD，相交于點(diǎn)F，我們可構(gòu)造出兩對(duì)“A”型相似，如下圖：

由AD∥BC得△FAD∽△FBC，且BC=4，可求出相似比為1:4，再求出AF=1，順便得到CD=3DF=3(CF-CD)，化簡(jiǎn)得CF=4/3·CD；從而得到點(diǎn)E是BF中點(diǎn)，再由EM∥CD得EM是△BCF中位線(或證△BME∽△BCF)，得BM=CM=2，順便得到CF=2EM，這樣就得到了EM與CD的數(shù)量關(guān)系，EM:CD=2:3；

所以EN:CN=2:3，可得CN=3/5·CE，現(xiàn)在我們回到前面推導(dǎo)出的△DCN∽△DMC，得CM2=CN·CE，即4=3/5·CE·CE，解得CE=2√15/3；

01

方法一：

Valentine's Day

此時(shí)再過(guò)點(diǎn)E向BC作垂線EG，如下圖：

設(shè)GM=a，則BG=2-a，CG=2+a，分別在Rt△BEG和Rt△CEG中利用勾股定理得BE2-BG2=CE2-CG2，列出方程：4-(2-a)2=20/3-(2+a)2，解得a=1/3；

先求出BG=5/3，再由勾股定理求出EG2=11/9，在Rt△MEG中求出EM=2√3/3，最后根據(jù)EM:CD=2:3求出CD=√3；

02

方法二：

Valentine's Day

連接DE，如下圖：

(本解法由遠(yuǎn)安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校焦雷老師提供)

設(shè)DF=x，則CD=3x，由AE=AF=AD=1，可證∠EDF=90°，仍然在Rt△EDF和Rt△EDC中利用勾股定理得EF2-DF2=CE2-CD2，列出方程：4-x2=20/3-9x2，解得x=√3/3，最后求出CD=3x=√3.

解題反思

對(duì)于教師來(lái)講，這道題在講的時(shí)候如何精準(zhǔn)作圖？以GeoGebra為例，首先作一個(gè)等腰△BCF，并且使得BC=4，CF=4√3/3，再分別在BF和CF上取其四等分點(diǎn)A和D，BF邊上中點(diǎn)E，BC上中點(diǎn)M，再連接CE，EM，DM，交點(diǎn)為N，如下圖：

通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)滿足題目條件，順便連接DE之后測(cè)量檢查∠EDF=90°；

對(duì)于等腰△BCF來(lái)講，它也算特殊三角形，腰底之比為√3:1，在這種腰底比值下，∠DCE=∠CEM=∠DMC，至此我們才完成了整道題的代數(shù)關(guān)聯(lián)，構(gòu)成本題圖形的基本條件是等腰△BCF，其腰:底=√3:1，AD這條線段截其邊長(zhǎng)和底的1/4，EM是中位線；

挖出這些條件之后，剩下的就是設(shè)置它們間的關(guān)聯(lián)，隱藏若干條件，看剩下的能否推導(dǎo)出來(lái)。

若要進(jìn)行改編，掌握以上代數(shù)關(guān)聯(lián)之后，也會(huì)相對(duì)容易，例如不給出線段的具體數(shù)值，只給出等量關(guān)系，最后也不求具體數(shù)值，而是求比值，當(dāng)然難度也會(huì)提升。

2024年上海中考數(shù)學(xué)壓軸題，對(duì)于學(xué)生的構(gòu)圖能力要求較高，給出基本圖形是梯形，需要通過(guò)演算發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)缺了角的等腰三角形，只要補(bǔ)全這塊拼圖，整道題的邏輯就通順了。至于其間的相似三角形、直角三角形等，都是這些代數(shù)關(guān)聯(lián)的點(diǎn)綴。