2024年廣東省中考數學第22題深入挖掘

關于點的存在性探究，一直是壓軸題難點所在，把一個點的存在性探究清楚了，那么其余圖形的存在性，探究方法可以化歸，即解一題，通一類。

2024年廣東省中考數學第22題，尤其是第3問，滿足條件的點是否存在，需要學生通過推演、作圖、猜想、驗證去探究，難度較高，平時解題是否養成了解題后反思，至關重要，僅僅只是解完、解對一道題，遠遠不夠，我們需要對題目的條件和結論進行拓展延伸，吃透命題意圖，掌握一類解題方法，從本源上破解壓軸題。

題目

解析：

01

(1)由旋轉可知DE=DA，又DE是△ABC中位線，故DE=1/2BC，同時AD=1/2AB，所以AB=BC；

02

(2)連接AA'，如下圖：

仍然由旋轉可得等腰△DAA'和等腰△DCC'，且∠ADC=∠A'DC'，于是∠A'DA=∠C'DC，我們可證△DAA'∽△DCC'；

相似三角形得到比例式DA:DC=AA':CC'，而DE是△ABC中位線，得DA=BD，點F是A'B中點，于是DF是△A'BD中位線，于是AA'=2DF，上述比例式可變為BD:DC=2DF:CC'，最后化為乘積式2DF·CD=BD·CC'；

03

(3)從特殊角猜想：∠AGD+∠CGE=180°，若這兩個角均為直角，是否可以找到相應的點G？

不妨分別以AD、CE為直徑作半圓，如下圖：

從作圖結果發現，這兩個半圓有兩個交點F、G，我們首先來驗證這兩個半圓的相交性，過點N作BC的垂線，如下圖：

Rt△BDE三邊分別為3，4，5，可證△BNK三邊之比為3:4:5，其中BN=BD+DN=41/5，BK=3/5·BN=123/25，NK=4/5·BN=164/25，所以EK=BK-BE=48/25，則MK=EM-EK=256/75，利用勾股定理求得MN，再與這兩個半圓半徑之和128/15比較，發現MN<128/15，故兩個半圓一定相交；

我們選擇其中一種情況證明，另一種類似，如下圖：

由直徑所對的圓周角為直角，可知∠AGD=∠CGE=90°，所以∠AGD+∠CGE=180°；

從特殊到一般：

△ABC中我們過點C作CN⊥AB，得Rt△BCN∽Rt△BDE，如下圖：

因此可求出BN=41/5，于是AN=16/5，而AD=32/5，說明點N是AD中點，即CN是AD的垂直平分線；

再作CE和垂直平分線，交CN于點G，連接DG，如下圖：

可求出CM=16/3，且△CMG三邊之比也為3:4:5，所以可求出GM=4，發現DE=GM，所以四邊形DEMG是矩形，此時再連接AG和EG，如下圖：

可得∠DGN+∠MGC=90°，而圖中△ADG和△CEG均為等腰三角形，所以∠AGD=2∠DGN，∠CGE=2∠MGC，最后也得到∠AGD+∠CGE=180°，意味著我們又找到了一個符合條件的點G；

在上述基礎上分別作△ADG和△CEG的外接圓，如下圖：

說明除了點G滿足要求，兩圓交點F也滿足要求；

繼續挖掘：

回顧前面的探究，分別以AD、CE為直徑的兩圓交點滿足∠AGD+∠CGE=180°，第二次分別以AD、CE為弦的兩圓交點也滿足，是否還存在更多情況？

我們知道以AD為弦的圓，圓心在AD的垂直平分線上，同理以CE為弦的圓，圓心在CE的垂直平分線上；這兩個圓滿足什么條件，可使∠AGD+∠CGE=180°呢？在AD的垂直平分線上取點P作為其中一個圓的圓心，連接AP、DP，得圓心角∠APD，同樣在CE垂直平分線上取點Q，連接CQ、EQ，得圓心角∠CQE，使∠APD=∠CQE，如下圖：

當這兩個圓相交時，觀察其中一個交點G，如下圖：

在圓Q中，我們很容易證明∠CGE=180°-1/2∠CQE，而∠CQE=∠APD，且∠AGD=1/2∠APD，所以∠AGD+∠CGE=180°；

說明只要圓P和圓Q有交點，且交點在△ABC內部，這些交點均滿足題目條件；顯然這樣的交點有無數個，即一定存在這樣的點G.

解題思考

這是兩種特殊情況，首先由特殊角開始，當∠AGD=∠CGE=90°時，找到兩個圓，分別以AD和CE為直徑；然后一般化，分別以AD和CE為弦構圓，為了讓∠AGD+∠CGE=180°，我們需要它們分別對應的圓心角∠APD+∠CQE=360°，因此當點P在△ABC內時，讓圓心Q在△ABC外部，這兩個圓有交點在△ABC內即可滿足；

上圖中，△APD∽△CQE且它們均為等腰三角形，底邊分別是AD和CE，若點P在△ABC外部且點Q在△ABC內部時，同樣也可以找到滿足條件的點G，如下圖：

當然，最后如果我們留意下符合條件的點G的軌跡，更有意思，但不在本文討論范圍內，有興趣的老師們可繼續研究。