綜合與實踐壓軸題

2024年江西省中考數學第23題

初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識與思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力——2022版新課標第77頁。

江西省采用全省統一中考比較早，并且堅持將綜合與實踐作為必考壓軸題，2024年江西省中考數學第23題，并沒有以現實問題作為背景，而是選擇了數學學科本身作為情境，盡管從這個角度去看題目中所說的綜合與實踐有點“假”，但對學生解決問題具備的基本素養要求，卻是一致的；當然，如果強加現實背景，本題表面上符合課標要求，但實際上卻顯得生硬，這也是綜合與實踐類試題命制過程中必須面對的，究竟要如何命題，如何才能命好題，如何才能命出一道優秀的綜合與實踐數學題，值得更進一步思考。

題目

解析：

01

(1)當m=1時，CE=CD，CA=CB，則可得△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，很容易證明△CAD≌△CBE，如下圖：

所以可得AD=BE，∠A=∠CBE=45°，而∠ABC=45°，于是∠EBD=45°+45°=90°，即AD⊥BE；

02

(2)基于前一小題的基本方法，只不過原來的全等三角形變成了相似三角形，如下圖：

由∠ACB=∠DCE=90°可得∠ACD=∠BCE，再加上CE:CD=CB:CA=m，由兩邊對應成比例且夾角相等可證△BCE∽△ACD，于是BE:AD=m；

我們同樣可得∠A=∠CBE，且∠A+∠ABC=90°，于是∠CBE+∠ABC=90°，即BE⊥AD；

03

(3)由第1小題的條件，我們已經知道了△ABC和△DEC是等腰直角三角形，再加上點F與點C關于DE對稱，因此很容易得到△FDE也是等腰直角三角形，從而進一步得到正方形CDFE，基于以上結論，我們再來看第一個小問題：

①將四邊形CDFE的面積y用含x的式子表示出來，正方形面積的求法有兩種，邊長的平方或對角線平方的一半；

由于在第1小題的結論中，有BE⊥AD，于是得到Rt△DBE，由AC=6可求得AB=6√2，而AD=x，于是BE=x，則BD=6√2-x，利用勾股定理列方程：

DE2=BD2+BE2=(6√2-x)2+x2=2x2-12√2x+72

所以y=1/2DE2=x2-6√2x+36

配方后得y=(x-3√2)2+18，即當x=3√2時，y最小值為18；

②方法一：

對于正方形CDFE，DF是其對角線之一，再結合∠DBE=∠DFE=90°，發現D、F、B、E四點共圓，如下圖：

圓心恰好在DE中點，于是我們連接CF，得點O，它是正方形的中心，所以事實上圓O上共五個點C、D、F、B、E，現在我們可以證明∠CBF=90°了；

Rt△CBF中，CF2=40，因此正方形CDFE面積y=20，利用①中的函數表達式，可求出x=4√2或2√2；

方法二：

以點D為旋轉中心，將△DBF逆時針旋轉至△DGC處，如下圖：

其實本法的核心依然是證明∠CBF=90°，利用△DBF≌△DCG，可得∠DBF=∠G=45°，于是∠CBF=90°，接下來的計算與方法一完全相同.

解題反思

從第1小題的基本模型，到第2小題的類比遷移，再到第3小題的拓展應用，探究主線是通知圖形的變化，發現其中的特殊位置或特殊數值。

前兩個小題已經很明確的告訴我們，兩個共直角頂點的相似直角三角形，其頂點C、D、B、E共圓，且圓心在DE中點處；第3小題對稱之后得到正方形CDFE，它也是某個圓的內接正方形，這個圓恰好是前面四點所在的圓，如下圖：

有了這個圓，條件中的AC=6，BF=2立刻就有了用武之地，因此無論哪種方法，將這兩條線段關聯起來是核心，無論是連接CF，證明Rt△CBF也好，或者將BF通過變換與AC構造新的直角三角形也罷，原理是一樣的。

在引導學生觀察圖形的時候，也可以觀察到共弦圓周角的情形，如下圖：

這幾個45°角均為弦CD所對，當然也可找到其它類似的圓周角，只是在證明時，我們選擇方法一中的直角。

在解完本題之后，我也想將題目中的三角形用三角尺代替，以更符合“綜合與實踐”的形式，但隨即放棄了，三角尺和三角形并無本質區別，反而浪費了閱讀量，如果背景與題目中的數學沒啥關聯，那便最好不關聯，畢竟數學更追求簡潔。