基于三角形角平分線的綜合與實(shí)踐

2024年南通中考數(shù)學(xué)第26題

三角形的角平分線概念，在初中階段分兩步教學(xué)，首先是在七年級(jí)上冊(cè)175頁(yè)，角的比較與運(yùn)算第2課時(shí)，類比線段中點(diǎn)，給出角的平分線定義；然后在八年級(jí)上冊(cè)第5頁(yè)，三角形的高、中線與角平分線中，明確了三角形的角平分線定義，如下圖：

三角形的角平分線是一條線段，它將對(duì)邊分成兩條線段，再加上原有角的兩條邊，更加豐富了三角形的邊角關(guān)系，尤其是在特殊三角形例如等腰三角形中，頂角平分線同時(shí)也是底邊上的中線和高，即大家熟悉的“三線合一”。

以三角形的角平分線為情境，從特殊等腰三角形出發(fā)，探究?jī)裳团c兩腰積與其中一個(gè)特殊角間的數(shù)量關(guān)系，再到一般三角形與一般角，得出一般性結(jié)論，再利用這個(gè)結(jié)論來(lái)解決問題，這正是綜合也實(shí)踐活動(dòng)的一般流程。

題目

解析：

01

(1)解題前如果對(duì)特殊直角三角形邊角關(guān)系非常熟悉的話，則本小題會(huì)很輕松，一般而言，等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，三邊關(guān)系分別滿足1:1:√2和1:√3:2，與特殊三角函數(shù)值正好對(duì)應(yīng)，填表如下：

對(duì)照條件作出圖形，如下圖：

這里需要注意的是讀懂題目要求，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB·AC之間的數(shù)量關(guān)系，不要將參數(shù)α給消元了.

02

(2)和前面相比，角平分線AD=1不變，它所平分的角為60°，按要求作圖如下：

我們?cè)诘妊切沃刑剿鞒鰜?lái)的規(guī)律依舊可用，但此時(shí)的△ABC并不是等腰三角形，所以優(yōu)先考慮構(gòu)造一個(gè)等腰三角形，從而可以直接運(yùn)用前面的結(jié)論，我們可過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，如下圖：

很顯然，△ABF是等邊三角形，且AE是其頂角平分線；

利用這個(gè)等邊三角形，我們可以非常順利地建立AB、AE與∠BAE的關(guān)系，但這離我們的結(jié)論還差一點(diǎn)，因此需要建立AE與AC間的關(guān)聯(lián)，所以過(guò)點(diǎn)F繼續(xù)作BF的垂線，交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作FG的垂線，交AC于點(diǎn)H，如下圖：

我們很容易得到一組平行線GH∥BF，利用相似三角形推導(dǎo)如下：

我們還可以將前面的結(jié)論與本小題結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，可發(fā)現(xiàn) 2cos30°=√3，即在本小題條件下，前面的結(jié)論依然成立：(AB+AC)/AB·AC=2cosα；

仍然基于以上思路，還有更多方法，如下圖：

過(guò)程類似，不再重復(fù).

03

(3)先按要求作圖，如下圖：

在等腰△ABC中，AD=BD=BC，不妨設(shè)∠A=y，則∠ABD=y，∠BDC=2y，∠C=2y，∠ABC=2y，∠DBC=y，利用內(nèi)角和定理可求出y=36°；

圖中BD為△ABC內(nèi)角平分線，同時(shí)它也是△BMN的內(nèi)角平分線，這樣我們可以利用前面已經(jīng)探究出來(lái)的結(jié)論，在△BMN中，BE是其內(nèi)角平分線，則(BM+BN)/BM·BN=2cos36°，即1/BM+1/BN=2cos36°，顯然cos36°是定值.

解題反思

我們?cè)诘谝恍☆}中，完成了等腰三角形中從特殊角到任意角結(jié)論的推導(dǎo)，也證實(shí)了(AB+AC)/AB·AC=2cosα對(duì)于等腰三角形中的任意角α是成立的；

在第二小題中，從一般三角形中構(gòu)造等腰三角形，借助前面的結(jié)論完成了特殊角的結(jié)論(AB+AC)/AB·AC=2cos30°，在推導(dǎo)過(guò)程中，30°角起到的作用是建立了參數(shù)x與AB、AC間的關(guān)系，即我們用含x的代數(shù)式表示出了AB、AC的長(zhǎng)度，那么30°角能完成的關(guān)聯(lián)，45°角同樣能完成，60°角也能完成，這就回到了第一小題的探究方法了，因此對(duì)于任意角α，我們都能建立起AB、AC間的關(guān)系，即可用含x、α的代數(shù)式表示出AB、AC，雖然我們沒有在一般三角形中就任意角α下的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，但它依然成立；

部分學(xué)生在經(jīng)歷特殊到一般的過(guò)程中，對(duì)于本題沒有驗(yàn)證任意角α一直很疑惑，其實(shí)是沒有必然的，但為了讓結(jié)論更加嚴(yán)密，不妨在一般三角形中，我們用任意角度的角平分線來(lái)驗(yàn)證一下：

由于E是BF中點(diǎn)，可得DE是△BFG中位線，F(xiàn)G=2DE，推導(dǎo)如下：

通常情況下，三角形內(nèi)角不超過(guò)180°，故α應(yīng)該為銳角，利用銳角三角函數(shù)恰好能進(jìn)行上述推導(dǎo)，這就完美遵循了猜想-驗(yàn)證的思想方法，形成了邏輯閉環(huán)；

其實(shí)在上面的驗(yàn)證過(guò)程中，我們對(duì)比第二小題的過(guò)程，“幾乎一樣”，這也說(shuō)明了結(jié)論在前面已經(jīng)被證實(shí)過(guò)可用；在第三小題中，真正理解了前面研究結(jié)論的學(xué)生，就非常容易理解定值的含義了.