揭秘“錯錯得正”，回避邏輯坑

在一次周末作業中，老師布置了一道幾何綜合題，某位學生也得到了正確答案，但是老師看了他的草稿和圖上的痕跡之后，認為他是錯的，這是為什么呢？我們一起來研判：

題目

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=1，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AED.

(1)如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉30°得△AED，求∠BED的大小；

(2)如圖2，CD交BE于點F，求證：點F是BE中點；

(3)△AED在繞點A旋轉一周的過程中，線段DF長度的最大值為_________________.

解析：

01

(1)由旋轉可得AB=AE，△ABE為等腰三角形，且頂角為30°，如下圖：

可得∠AEB=75°，而∠AED=60°，所以∠BED=15°；

02

(2)先說一種“秒殺”的方法：

連接AF，如下圖：

連接AF，由旋轉可得∠CAD=∠BAE，即等腰△ACD和等腰△ABE，這兩個頂角相等的等腰三角形，底角也相等，即∠ACD=∠ABE，這兩個角在AF同一側，所以A、C、B、F四點共圓，因為∠ACB=90°，所以∠AFB=90°，AF⊥BE，由三線合一可得點F是BE中點；

此種解法的隱患是，四點共圓的依據并不是教材中的定理；

回歸傳統的構造全等三角形的方法，過點B作BG∥DE，如下圖：

由BG∥DE得∠EDF=∠BGF，其中∠EDF=90°+∠ADC=90°+∠ACD，∠BGF=180°-∠BGC，所以90°+∠ACD=180°-∠BGC，整理得∠ACD+∠BGC=90°，而∠ACD+∠BCG=90°，所以∠BCG=∠BGC，即BC=BG，由旋轉可知BC=ED，所以BG=ED，再加上∠BFG=∠EFD，∠BGF=∠EDF，可證△BFG≌△EFD，最后得到點F是BE中點；

學生完成這一問其實比較順利，畢竟構造全等三角形來完成邊之間的等量轉換，還算熟練；

03

(3)本來作為本題最難的小題，應該花較長時間完成，結果某個學生居然說他把這道題給秒了，雖然十分詫異，但還是請他來說明過程；

學生：由第2小題點F是BE中點，可由三線合一證明AF⊥BE，因此四邊形ACBF有一組對角互補，因此這個四邊形四個頂點共圓；

老師：這必須點贊！圓的概念理解非常到位！

學生：點F在以AB為直徑的圓上，而點D在旋轉過程中，在以A為圓心的圓上，所以DF長度的最大值，就是這兩個圓的半徑之差，大圓減去小圓的結果，嗯，是2；

說到此處，大家可能也發現問題所在了，我們來看圖：

先說該學生犯的錯誤，小圓半徑為1，這沒問題，大圓半徑是√3，這個他看錯了，所以相減之后并不會等于2；同時DF的長度，不應該是半徑之差，這一點他自已也沒意識到；

重新畫了圖形之后，指出了他的錯誤，于是學生糾正為DF長度最大值是√3，當點F與A重合，點D在BA延長線上時取最大值；

真的是這樣嗎？

我們取AE中點H，連接FH和DH，由Rt△ADE中，DH是斜邊上的中線，因此DH=1/2AE=1，結合前面的第2小題結論，FH是△ABE中位線，因此FH=1/2AB=1，如下圖：

觀察△DFH，它有兩條邊的長度是固定的，均為1，則第三邊長度一定存在一個范圍，當且僅當D、H、F三點共線時，DF最長，最大為2，如下圖：

回到那位學生所提到了圓，我們將點D和點F所在的圓也畫出來，再對比上圖，看能發現什么，如下圖：

可以發現，當DF取最大值時，兩個圓心A、G與D、F根本不在一條直線上，所謂用大圓減小圓半徑的邏輯根本就是錯的；事實上，這四個點D、F、A、G不會共線.

顯然，正確答案是2.

解題思考

在圓背景下求線段長度的最值，若線段兩端點有一個在圓上，另一個在圓內或圓外，可利用點和圓的位置關系，連接該點和圓心，得到相應的線段，再判斷最大和最小，如下圖：

我們所依據最基礎的定理，就是線段公理：兩點之間，線段最短，幾乎所有關于線段最值的問題，都會在線段兩個端點上作文章，端點是什么點，在哪里(直線上或圓上)，靜或動等等，例如另一個有關最短描述的定理，垂線段最短，其實也是從線段公理推演而來，垂線段有一個端點是垂足，在直線上，即從一個端點處作了點文章，公理就變成了定理；再例如“將軍飲馬”問題，將直線同側兩點轉換成異側兩點，再線段公理；

有了圓之后，情況會稍微不一樣，因為圓周上的點到圓心的距離相等，而這個概念的另一層含義是圓周上的點具有各向同性，即旋轉對稱性，只要連接平面內某個點和圓心，得到一條直線，那我們所要求的最長和最短距離，都可以在這條直線上找到相應的線段。

而存在兩個圓的情況下，情況會更復雜一些，例如本題最后一小題，雖然我們研究線段DF長度的變化時用到了圓，但此時線段兩個端點均在運動中，若是不借助三角形，僅僅只看線段，不容易得到最值，所以此時需要用其它條件進行轉換，利用中位線、斜邊上的中線等，得到這條線段所在三角形有兩邊長度確定，從而解決問題。

因此，我們在探究線段最值問題的時候，優先考慮的依然是線段公理，若是這條線段被作了文章，那么我們的思維應該順著條件尋找線段公理的“根”，以題設條件為依據，用所學的方法，將最終的那條“最短線段”找出來，這是正確的邏輯，也是通法。