有用，但并不是普遍規(guī)律。關(guān)鍵區(qū)別在于“端口數(shù)”和“模式數(shù)”不同。天線端口是讀取和控制電磁場(chǎng)的接口，真正承載信息的則是電磁場(chǎng)中的獨(dú)立模式。如果孔徑大小、工作頻率和傳播環(huán)境都沒有改變，繼續(xù)增加陣元，往往只是把同一片電磁場(chǎng)采得更細(xì)，而不是產(chǎn)生新的獨(dú)立模式。可以把這件事類比為拍攝一幅圖像。傳感器像素太少時(shí)，細(xì)節(jié)會(huì)丟失；但當(dāng)像素?cái)?shù)已經(jīng)足以記錄鏡頭所能分辨的細(xì)節(jié)后，繼續(xù)增加像素，并不會(huì)突破鏡頭孔徑?jīng)Q定的分辨率上限。天線陣列也類似：陣元過少會(huì)漏掉模式，陣元足夠后再繼續(xù)加密，主要改善的是控制精度、校準(zhǔn)能力和系統(tǒng)魯棒性，而不是自動(dòng)增加物理自由度。其原因來自波動(dòng)約束。在給定頻率下，電磁場(chǎng)在空間中的變化速度不能任意快；在給定孔徑下，可被穩(wěn)定激發(fā)和接收的空間模式也有限。若陣列采樣已經(jīng)覆蓋主要空間帶寬，繼續(xù)減小陣元間距就會(huì)進(jìn)入冗余采樣區(qū)間。此時(shí)系統(tǒng)可能更容易做波束賦形、誤差補(bǔ)償和連續(xù)孔徑近似，但可獨(dú)立傳輸或分辨的信息流數(shù)，不會(huì)隨天線數(shù)成比例增加。因此，評(píng)價(jià)超密陣列、連續(xù)孔徑或全息MIMO時(shí)，不能只看端口數(shù)。更需要問的是：系統(tǒng)是否真正獲得了新的可用模式？是否能穩(wěn)定訪問新的傳播方向、波前曲率、極化狀態(tài)或近場(chǎng)結(jié)構(gòu)？如果答案是否定的，更多端口主要是工程實(shí)現(xiàn)手段；如果答案是肯定的，更多端口才可能轉(zhuǎn)化為新的有效自由度。下一節(jié)將進(jìn)一步說明：自由度到底是什么。

|作者：沙威? 黃崇文 李達(dá) 李爾平

(浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院）

本文選自《物理》2026年第6期

摘要無線通信、感知和成像都依靠電磁場(chǎng)承載信息。當(dāng)天線陣列走向超大規(guī)模、連續(xù)孔徑和近場(chǎng)工作區(qū)間時(shí)，天線數(shù)或信道矩陣維數(shù)已不足以刻畫系統(tǒng)的信息能力，關(guān)鍵問題變?yōu)椋涸诮o定頻率、孔徑、距離、能量和噪聲條件下，電磁場(chǎng)中有多少個(gè)可穩(wěn)定區(qū)分和利用的獨(dú)立模式。文章沿著“Gabor信息圖—Shannon容量—Wigner相空間—電磁自由度—三維孔徑”的脈絡(luò)，說明自由度、采樣和空間幾何之間的物理聯(lián)系。重點(diǎn)指出，自由度不是端口數(shù)，而是可用的電磁模式數(shù)；采樣不是自由度的來源，而是連續(xù)場(chǎng)有限自由度在工程端口上的表現(xiàn)；立體天線和三維孔徑的意義也不是突破物理極限，而是更充分地組織和讀取可訪問模式。希望文章可以為人們理解電磁場(chǎng)如何承載和提取信息提供一個(gè)直觀圖像。

關(guān)鍵詞電磁信息論，自由度，Wigner—Ville分布，空間帶寬積，采樣，立體天線

01

引言：自由度、信息論與電磁學(xué)之間的橋梁

今天，人們每天都在和“信息”打交道：手機(jī)通信、衛(wèi)星導(dǎo)航、雷達(dá)探測(cè)、醫(yī)學(xué)成像、天文觀測(cè)……這些看似不同的技術(shù)，背后其實(shí)都依賴同一種東西——電磁波。電磁波不僅負(fù)責(zé)把信息從一個(gè)地方傳到另一個(gè)地方，也決定了信息能傳多遠(yuǎn)、傳多快，以及能否被可靠獲取。

過去幾十年里，信息論極大推動(dòng)了現(xiàn)代通信的發(fā)展。它告訴人們：在有限帶寬、有限功率和噪聲存在的條件下，一個(gè)系統(tǒng)最多能夠可靠傳輸多少信息。在經(jīng)典通信理論中，復(fù)雜的電磁波傳播過程，常常被簡化為一個(gè)抽象的“信道”。但現(xiàn)實(shí)中的信息傳輸并不是在公式中完成的，而是依靠電磁波在真實(shí)物理空間中傳播、散射和干涉來實(shí)現(xiàn)。天線大小、波長長短、空間幾何以及傳播環(huán)境，都會(huì)影響信息最終能否被有效獲取。

這就引出了一個(gè)更基礎(chǔ)的問題：信息究竟是如何“藏”在電磁波中的？為什么有時(shí)候增加更多天線，通信系統(tǒng)的性能提升卻并不明顯？為什么顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡即使不斷提高像素，仍然存在分辨極限？這些問題看似屬于不同領(lǐng)域，卻都指向同一個(gè)事實(shí)：信息的獲取受到電磁波傳播規(guī)律的約束。電磁信息論(electromagnetic information theory, EIT)正是在這一背景下發(fā)展起來的一類新興研究方向。它試圖把信息論與電磁波傳播聯(lián)系起來，從電磁波本身的角度重新理解信息的產(chǎn)生、傳播與獲取。

伽博(Gabor)早在1946年就指出，有限時(shí)間、有限帶寬的信號(hào)可以放在“時(shí)間—頻率”平面中理解，信號(hào)占據(jù)的面積與可承載的信息單元數(shù)量有關(guān)[1]。香農(nóng)(Shannon)隨后從帶寬、功率和噪聲出發(fā)，建立了可靠通信的容量理論[2]。簡單說，Gabor關(guān)心信號(hào)占用了多少物理資源，Shannon回答這些資源在噪聲中能傳遞多少可靠信息。

類似的問題也出現(xiàn)在圖像和光學(xué)成像中。Toraldodi Francia討論了圖像的自由度[3]，Miller則把問題推廣為兩個(gè)有限體積之間有多少個(gè)正交波通道[4]。在顯微成像中，透鏡孔徑?jīng)Q定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（注：點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可理解為成像系統(tǒng)對(duì)一個(gè)理想點(diǎn)目標(biāo)的響應(yīng)。它越窄，系統(tǒng)越容易分辨相鄰目標(biāo)。實(shí)際點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不僅與橫向分辨率有關(guān)，也與三維傳播、孔徑和探測(cè)方式有關(guān))，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)又限制可分辨細(xì)節(jié)。這與無線陣列中的孔徑限制空間自由度是相通的：系統(tǒng)能分辨多少信息，不只取決于探測(cè)器或天線數(shù)量，也取決于波動(dòng)傳播和可訪問孔徑。

本文討論的“自由度” (注：本文中的自由度不是力學(xué)中的廣義坐標(biāo)數(shù)，而是指在給定物理?xiàng)l件下能夠被穩(wěn)定區(qū)分和利用的獨(dú)立電磁模式數(shù))，就是連接信息論和電磁學(xué)的橋梁。當(dāng)天線陣列較小、端口數(shù)有限時(shí)，用離散信道矩陣描述系統(tǒng)通常已經(jīng)足夠；但當(dāng)陣列走向超大規(guī)模、連續(xù)孔徑、全息表面或近場(chǎng)通信時(shí)，陣列上的電流和場(chǎng)更接近連續(xù)分布。這時(shí)，僅看矩陣維數(shù)或天線數(shù)就不夠了，更關(guān)鍵的問題是：在給定頻率、孔徑、距離和噪聲條件下，電磁場(chǎng)到底允許多少個(gè)獨(dú)立模式來承載信息。

近年來，電磁信息論以及連續(xù)孔徑通信、全息MIMO(多輸入多輸出)、超大規(guī)模陣列和近場(chǎng)通信等研究，正是圍繞上述自由度問題不斷展開[5—11]。文章將科普性討論為什么更多天線不一定意味著更多信息；自由度為什么應(yīng)理解為可分辨的電磁模式數(shù)；Wigner—Ville分布（注：Wigner—Ville分布是一種相空間表示方法。它同時(shí)描述波場(chǎng)的位置分布和空間頻率分布，可幫助讀者直觀看到“波在哪里”和“波往哪里傳播”) 如何幫助理解空間帶寬積（注：空間帶寬積可粗略理解為“空間范圍”與“空間變化快慢”的乘積。它越大，系統(tǒng)通常可容納的獨(dú)立空間模式越多)和采樣；以及立體天線為什么可能成為更充分提取電磁信息的一條具體路徑。

02

為什么更多天線不一定意味著更多信息

在很多工程場(chǎng)景中，增加天線數(shù)確實(shí)能提高通信速率或感知能力。多輸入多輸出系統(tǒng)可以并行傳輸多個(gè)數(shù)據(jù)流，大陣列也可以提供更高增益和更窄波束。因此，人們很容易形成一個(gè)直覺：天線越多，信息就越多。這個(gè)直覺在許多情況下有用，但并不是普遍規(guī)律。

關(guān)鍵區(qū)別在于“端口數(shù)”和“模式數(shù)”不同。天線端口是讀取和控制電磁場(chǎng)的接口，真正承載信息的則是電磁場(chǎng)中的獨(dú)立模式。如果孔徑大小、工作頻率和傳播環(huán)境都沒有改變，繼續(xù)增加陣元，往往只是把同一片電磁場(chǎng)采得更細(xì)，而不是產(chǎn)生新的獨(dú)立模式。

可以把這件事類比為拍攝一幅圖像。傳感器像素太少時(shí)，細(xì)節(jié)會(huì)丟失；但當(dāng)像素?cái)?shù)已經(jīng)足以記錄鏡頭所能分辨的細(xì)節(jié)后，繼續(xù)增加像素，并不會(huì)突破鏡頭孔徑?jīng)Q定的分辨率上限。天線陣列也類似：陣元過少會(huì)漏掉模式，陣元足夠后再繼續(xù)加密，主要改善的是控制精度、校準(zhǔn)能力和系統(tǒng)魯棒性，而不是自動(dòng)增加物理自由度。

其原因來自波動(dòng)約束。在給定頻率下，電磁場(chǎng)在空間中的變化速度不能任意快；在給定孔徑下，可被穩(wěn)定激發(fā)和接收的空間模式也有限。若陣列采樣已經(jīng)覆蓋主要空間帶寬，繼續(xù)減小陣元間距就會(huì)進(jìn)入冗余采樣區(qū)間。此時(shí)系統(tǒng)可能更容易做波束賦形、誤差補(bǔ)償和連續(xù)孔徑近似，但可獨(dú)立傳輸或分辨的信息流數(shù)，不會(huì)隨天線數(shù)成比例增加。

因此，評(píng)價(jià)超密陣列、連續(xù)孔徑或全息MIMO時(shí)，不能只看端口數(shù)。更需要問的是：系統(tǒng)是否真正獲得了新的可用模式？是否能穩(wěn)定訪問新的傳播方向、波前曲率、極化狀態(tài)或近場(chǎng)結(jié)構(gòu)？如果答案是否定的，更多端口主要是工程實(shí)現(xiàn)手段；如果答案是肯定的，更多端口才可能轉(zhuǎn)化為新的有效自由度。下一節(jié)將進(jìn)一步說明：自由度到底是什么。

03

自由度到底是什么：從信道秩到電磁模式

“自由度”在不同語境中有不同說法。在通信中，它常被理解為可并行傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流數(shù)；在矩陣模型中，它常表現(xiàn)為信道矩陣中顯著奇異值的個(gè)數(shù)；在電磁場(chǎng)中，它更直接地對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)能夠穩(wěn)定激發(fā)、傳播、接收并區(qū)分的獨(dú)立場(chǎng)模式。這三種說法并不矛盾，而是從工程結(jié)果、數(shù)學(xué)描述和物理來源三個(gè)角度看同一件事。

數(shù)據(jù)流數(shù)告訴我們系統(tǒng)最后能并行傳幾路信息，但沒有說明這些數(shù)據(jù)流為什么存在。矩陣的秩或有效秩把收發(fā)端口之間的關(guān)系寫成線性代數(shù)問題，便于計(jì)算和優(yōu)化。電磁模式則進(jìn)一步回答：這些并行通道在物理上從哪里來。只有當(dāng)系統(tǒng)中確實(shí)存在若干彼此獨(dú)立、可被穩(wěn)定區(qū)分的場(chǎng)分布時(shí)，矩陣中才會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的顯著奇異值，工程上才可能獲得多個(gè)并行數(shù)據(jù)流。

連續(xù)電磁場(chǎng)在數(shù)學(xué)上可以有無限多種展開形式，但實(shí)際可用的自由度是有限的。原因很簡單：孔徑有限、頻率有限、觀測(cè)區(qū)域有限、能量有限，噪聲也不為零。很多數(shù)學(xué)上可以寫出的高階模式，在真實(shí)系統(tǒng)中可能太弱、衰減太快，或?qū)υ肼曔^于敏感，因而不能成為可靠的信息載體。因此，有效自由度并不是“能寫出多少個(gè)模式”，而是“有多少個(gè)模式能夠在實(shí)際條件下被穩(wěn)定使用”。

這一觀點(diǎn)也適用于光學(xué)成像。顯微鏡或望遠(yuǎn)鏡的分辨率并不只由探測(cè)器像素?cái)?shù)決定，還受到透鏡孔徑、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)、波長和噪聲的共同限制。所謂超分辨方法之所以可能成功，往往是因?yàn)樗肓诵碌奈锢頇C(jī)制、先驗(yàn)信息或編碼測(cè)量方式，而不是簡單違反衍射規(guī)律。無線陣列中的“天線數(shù)不等于自由度”，與成像系統(tǒng)中的“像素?cái)?shù)不等于分辨率”，本質(zhì)上是同一個(gè)道理。

這也說明，離散信道矩陣不是脫離電磁場(chǎng)的抽象對(duì)象。它可以看成連續(xù)傳播過程在發(fā)射端口和接收端口上的投影。如果端口布局、基底選擇和電磁模型能夠合理包含互耦、極化、近場(chǎng)波前和環(huán)境散射，矩陣譜就能較好反映真實(shí)模式結(jié)構(gòu)；如果離散化過粗或忽略了關(guān)鍵電磁因素，矩陣秩就可能只是模型中的數(shù)字，并不代表真實(shí)可用的信息通道。

因此，電磁信息論關(guān)心的不只是矩陣有多大、秩有多高，而是：在具體幾何、頻率、噪聲和傳播環(huán)境下，哪些電磁模式真正能被調(diào)用？哪些只是形式上存在，工程上不可用？要回答這些問題，需要一種能同時(shí)描述“位置”和“傳播方向”的語言。下一節(jié)引入Wigner—Ville分布，正是為了提供這樣一幅圖景。

04

Wigner—Ville分布：同時(shí)看見電磁波“在哪里”與“往哪里去”

描述電磁模式時(shí)，只看空間分布是不夠的?？臻g圖像能告訴我們場(chǎng)在哪里強(qiáng)、在哪里弱；角譜或波數(shù)空間能告訴我們場(chǎng)包含哪些傳播方向。但在通信、感知和成像中，人們常常需要同時(shí)知道兩件事：波出現(xiàn)在什么位置，又主要朝什么方向傳播。

Wigner—Ville分布(WVD)就是描述這種關(guān)系的一種工具。它把位置和空間頻率放在同一張圖中?？梢源致缘匕阉斫鉃橐环拔恢谩较驁D”：既看見波在哪里，也看見波往哪里去。對(duì)于自由度問題，這種表示很有用，因?yàn)橐粋€(gè)可用模式通常不僅有空間位置特征，也有傳播方向或波數(shù)特征。

對(duì)于一維空間變量，WVD可寫為[12]

其中x表示位置，k表示空間頻率或波數(shù)變量。此處不深究公式細(xì)節(jié)，其最重要的物理含義是：WVD不只告訴我們“有哪些波數(shù)”，還告訴我們“這些波數(shù)主要出現(xiàn)在什么位置”。

這與Gabor的信息圖思想是一脈相承的。Gabor認(rèn)為，有限信號(hào)不應(yīng)只在時(shí)間域或頻率域中單獨(dú)討論，而應(yīng)放在時(shí)間—頻率平面中理解。類似地，有限孔徑中的電磁場(chǎng)，也不應(yīng)只看空間分布或只看傳播方向，而應(yīng)同時(shí)看二者的組合。

舉例來說，大孔徑準(zhǔn)直波束在空間上分布較寬，但傳播方向較集中；小孔徑發(fā)散波束在空間上較局域，但包含的傳播方向更寬。二者在WVD圖中會(huì)占據(jù)不同形狀的區(qū)域。自由傳播、散射和邊界作用會(huì)改變這些區(qū)域的形狀和位置，從而影響哪些模式能夠被區(qū)分和利用。

圖1 一維發(fā)射源傳播過程的Wigner—Ville分布(WVD)示意圖 (a)發(fā)射平面上源場(chǎng)的初始WVD；(b)源場(chǎng)傳播一定距離后的WVD；(c)采用不同方法(遠(yuǎn)場(chǎng)解析解、WVD數(shù)值解和近場(chǎng)格林函數(shù)解)計(jì)算得到的發(fā)射平面與接收平面之間電磁自由度隨傳播距離的變化(圖中兩條虛線分別表示菲涅耳距離與瑞利距離)

圖1給出了這一思想的示意。對(duì)自由度而言，關(guān)鍵不是WVD圖本身多復(fù)雜，而是它提醒我們：可用模式對(duì)應(yīng)于WVD圖中那些能夠被系統(tǒng)訪問、區(qū)分并穩(wěn)定接收的區(qū)域。一個(gè)陣列能激發(fā)多少模式，一個(gè)接收面能分辨多少信息，一個(gè)傳播系統(tǒng)受什么限制，都與這一區(qū)域的大小、形狀以及傳播后的可分辨程度有關(guān)。

因此，WVD在本文中不是為了增加數(shù)學(xué)復(fù)雜性，而是為了提供直觀圖像。它把孔徑尺寸、傳播方向、空間帶寬、采樣密度和模式可分辨性放到同一幅圖中理解。下一節(jié)討論的相空間面積，正是沿著這個(gè)圖像繼續(xù)展開。

05

相空間面積：為什么自由度本質(zhì)上是“面積”而不是“點(diǎn)數(shù)”

有了WVD這樣的相空間圖像后，自由度問題可以說得更直接：決定自由度的不是人為取了多少個(gè)采樣點(diǎn)，而是電磁場(chǎng)在“位置—方向”圖中占據(jù)了多大的可分辨范圍。這個(gè)范圍越大，通常能容納的獨(dú)立模式越多；如果范圍沒有擴(kuò)大，單純?cè)黾硬蓸狱c(diǎn)，只是把同一片區(qū)域描得更細(xì)，并不會(huì)自動(dòng)增加新的自由度。

Gabor的信息圖已經(jīng)包含了這個(gè)思想：有限時(shí)間、有限帶寬的信號(hào)會(huì)占據(jù)有限的時(shí)間—頻率面積，獨(dú)立信息單元的數(shù)量與這個(gè)面積有關(guān)[1]。空間帶寬積理論則把這一思想推廣到光學(xué)、成像和電磁場(chǎng)[12]。簡單說，如果一個(gè)波場(chǎng)在空間上范圍有限，在傳播方向上也范圍有限，那么它能包含的獨(dú)立信息單元也就是有限的。

因此，可以用一個(gè)簡單關(guān)系來概括自由度(DoF)：

這個(gè)式子的意義不在于給出精確常數(shù)，而在于說明自由度的來源。先有有限的相空間資源，然后才有采樣、編碼和讀取這些資源的問題。

這也解釋了為什么“點(diǎn)數(shù)”和“面積”不能混為一談。點(diǎn)數(shù)取決于怎樣離散化；面積則更接近系統(tǒng)本身的物理約束。若相空間支撐沒有擴(kuò)大，即使采樣點(diǎn)更多，也只是對(duì)同一塊區(qū)域描述得更細(xì)。只有當(dāng)孔徑、角域、傳播環(huán)境或幾何邊界真正打開新的可訪問區(qū)域時(shí)，自由度才會(huì)實(shí)質(zhì)增加。

從幾何角度看，自由傳播、透鏡作用和傅里葉變換等操作，常常對(duì)應(yīng)相空間中的剪切、旋轉(zhuǎn)或類似變換。它們會(huì)改變相空間區(qū)域的形狀和位置，但不一定增加總面積。因此，聚焦、傳播和模式變換并不必然創(chuàng)造新的自由度；它們更多是在重新排列已有的模式資源。

一些常見自由度公式也可以這樣理解。對(duì)長度為L的一維線源而言，可傳播的有效空間頻率范圍大致受波長限制，因此自由度可寫成：

對(duì)面積為S的二維平面孔徑而言，自由度常寫成：

這里的重點(diǎn)不是公式前的具體系數(shù)，而是標(biāo)度關(guān)系：線陣自由度主要隨L/λ增長，面陣自由度主要隨S/λ2增長。差別來自可控制的空間維度不同，而不是簡單來自天線數(shù)量不同。

由此可以看出，采樣定理不是面積思想之外的另一件事。相空間面積有限，意味著連續(xù)電磁場(chǎng)可以用有限數(shù)量的樣本穩(wěn)定表示；合理采樣，正是有限自由度在工程端口上的表現(xiàn)。下一節(jié)討論采樣時(shí)，應(yīng)始終記住這一點(diǎn)：采樣不是自由度的來源，而是讀取自由度的方法。

06

電磁場(chǎng)的采樣：不是越密越好

上一節(jié)說明，自由度主要取決于電磁場(chǎng)在相空間中占據(jù)了多大的可分辨范圍，而不是取了多少個(gè)離散點(diǎn)。由此可以理解采樣定理的物理含義：連續(xù)場(chǎng)之所以能用有限個(gè)樣本表示，是因?yàn)樗旧碇挥杏邢薜目捎米杂啥?。這與時(shí)間信號(hào)采樣類似。帶限信號(hào)只要采樣率足夠高，就能被恢復(fù)；電磁場(chǎng)也是如此，只不過這里的“帶限”更多表現(xiàn)為空間變化受到波長、孔徑、傳播距離和邊界條件的共同限制。

對(duì)電磁場(chǎng)而言，采樣并不是簡單地把天線擺得更密?？讖缴系碾娏鞣植肌⒔邮彰嫔系牟ㄇ耙约皞鞑ニ阕拥捻憫?yīng)，都不是任意起伏的函數(shù)，而是受到物理規(guī)律約束的連續(xù)對(duì)象。發(fā)射孔徑有多大，觀察角度有多寬，系統(tǒng)處在近場(chǎng)還是遠(yuǎn)場(chǎng)，環(huán)境散射是否豐富，都會(huì)決定需要采多密、采多少點(diǎn)，才能把主要模式穩(wěn)定地讀出來。

因此，采樣點(diǎn)數(shù)不是自由度的來源，而是自由度在工程實(shí)現(xiàn)中的表現(xiàn)。如果連續(xù)場(chǎng)的可用模式已經(jīng)固定，繼續(xù)增加陣元，主要是提高表示精度和控制精度，而不是自動(dòng)增加新的獨(dú)立信息通道。這也是為什么更多陣元不一定意味著更多信息：陣列本質(zhì)上是在讀取連續(xù)電磁模式，而不是創(chuàng)造自由度。

在最經(jīng)典的一維均勻孔徑情形下，這個(gè)思想會(huì)導(dǎo)向熟悉的半波長準(zhǔn)則。若長度為L的線性孔徑大致具有
個(gè)自由度，那么為了把這些自由度完整讀取出來，陣元數(shù)至少應(yīng)與之接近。于是典型陣元間距為

這里重要的不是λ/2這個(gè)數(shù)字本身，而是它背后的邏輯：陣元間距落在半波長附近，是連續(xù)電磁場(chǎng)有限自由度約束下的自然結(jié)果。

半波長規(guī)則也揭示了陣列設(shè)計(jì)中的基本權(quán)衡。若采樣過稀疏(Δd?λ/2)，空間采樣不足，會(huì)出現(xiàn)混疊；在陣列中通常表現(xiàn)為柵瓣、方向模糊，以及本可區(qū)分模式之間的相互折疊(圖2(a))。若采樣過密集(Δd?λ/2)，從理想信息論模型看并不會(huì)丟失信息；但在真實(shí)電磁系統(tǒng)中，過小間距會(huì)增強(qiáng)陣元互耦，降低輻射效率，并損害有效信噪比和系統(tǒng)容量(圖2(b))。所以，過密采樣可以改善控制精細(xì)度，卻不能無限增加可用模式數(shù)。

圖2 固定一維孔徑長度下陣元過稀疏與過密集采樣的影響 (a)當(dāng)陣元間距為一個(gè)波長時(shí)，空間采樣不足，陣列波束中出現(xiàn)明顯柵瓣；(b)隨著天線數(shù)量增加，系統(tǒng)的有效自由度逐漸趨于飽和，而輻射效率則持續(xù)下降，表明過密采樣并不會(huì)繼續(xù)帶來相應(yīng)的自由度增益，反而引入更強(qiáng)的互耦與效率損失

由此可以看出，陣列不是生產(chǎn)自由度的機(jī)器，而是讀取連續(xù)模式資源的端口集合。如果空間帶寬已經(jīng)固定，陣列過稀會(huì)丟失信息，陣列過密則主要形成冗余采樣。當(dāng)然，冗余采樣在工程上并非沒有價(jià)值。它可以提升魯棒性、改善波束賦形精度、降低制造誤差影響，并更好地逼近理想連續(xù)孔徑。只是這些收益應(yīng)與新增自由度區(qū)分開來。

這個(gè)認(rèn)識(shí)對(duì)理解超密陣列、連續(xù)孔徑和近場(chǎng)通信尤為重要。判斷一個(gè)系統(tǒng)是否真的獲得了更多信息，不能只看陣元數(shù)量是否增加，而要看背后的空間帶寬、近場(chǎng)結(jié)構(gòu)、極化模式或傳播環(huán)境是否提供了新的可用模式。電磁場(chǎng)的空間采樣比時(shí)間信號(hào)采樣更復(fù)雜，因?yàn)樗ǔＪ鞘噶繄?chǎng)，涉及極化、互耦、近場(chǎng)波前和非均勻環(huán)境；但核心思想沒有變：有限自由度意味著可以采樣，合理采樣則幫助我們把這些自由度穩(wěn)定讀出來。

下一節(jié)將進(jìn)一步討論：這些空間變化能力究竟由什么決定。答案會(huì)落到幾何邊界、孔徑維度和可訪問模式空間上。

07

幾何如何限制自由度：從線陣、面陣到體積陣列

上一節(jié)說明，采樣密度不能脫離電磁場(chǎng)本身來討論，因?yàn)閳?chǎng)的空間變化受到波長、邊界和傳播環(huán)境限制。進(jìn)一步說，真正限制自由度的，往往不是采樣器本身，而是系統(tǒng)幾何。幾何決定了電磁場(chǎng)可以在哪些位置被控制，也決定了哪些傳播方向、波前形狀和極化模式能夠被有效訪問。

最容易理解的是線陣。當(dāng)陣列沿一條線展開時(shí)，它主要控制一維空間上的場(chǎng)分布；相應(yīng)地，可利用的模式數(shù)通常隨陣列長度增長。線陣自由度有限，不是因?yàn)樘炀€擺得不夠多，而是因?yàn)橐粭l線本身能夠支撐和區(qū)分的場(chǎng)變化有限。

當(dāng)系統(tǒng)從線陣擴(kuò)展到面陣時(shí)，情況發(fā)生變化?？刂茖?duì)象不再是一條線上的場(chǎng)，而是一個(gè)二維孔徑上的場(chǎng)分布。因此，自由度通常不再主要隨長度增長，而是隨面積增長。線陣和面陣分別呈現(xiàn)出L/λ與S/λ2的典型標(biāo)度差異。這說明，從線陣到面陣，不只是把天線鋪得更開，而是增加了可控制的空間維度。

但是，幾何維度增加并不意味著自由度可以無條件增加。一個(gè)系統(tǒng)即使看起來分布在三維空間中，如果它與外界交換信息的模式仍主要受某個(gè)二維邊界控制，那么有效自由度往往仍由邊界決定，而不是簡單按體積增長。按照電磁等效原理，真正能夠向外傳遞信息的， 不是體積內(nèi)部所有可能的場(chǎng)變化，而是那些能夠穿過邊界、滿足輻射條件，并在接收端被穩(wěn)定區(qū)分的模式。因此，三維結(jié)構(gòu)只有在確實(shí)帶來新的可訪問模式、改變邊界上的場(chǎng)結(jié)構(gòu)時(shí)，才會(huì)轉(zhuǎn)化為新的信息資源。

幾何對(duì)自由度的影響，可以概括為三點(diǎn)：第一，它決定場(chǎng)在哪些位置上可以被控制；第二，它決定系統(tǒng)對(duì)哪些傳播方向、波前曲率和極化狀態(tài)更敏感；第三，它決定哪些模式最終能夠進(jìn)入傳播過程并被接收端區(qū)分。從這個(gè)角度看，幾何不是簡單的天線擺放方式，而是模式資源的組織方式。

這也解釋了為什么任意幾何收發(fā)區(qū)域的自由度分析近年來受到關(guān)注。一旦問題不再是理想線陣或平面陣列，而是復(fù)雜孔徑、包圍式布局或三維結(jié)構(gòu)，自由度就不能只靠熟悉的公式簡單估算。近期基于互投影幾何估算空間自由度的思路表明，自由度不僅取決于單個(gè)陣列有多大，也取決于收發(fā)區(qū)域在不同空間方向上能否“相互看見”[13]。

因此，這一節(jié)的核心并不是比較線陣、面陣和體陣誰更高級(jí)，而是說明：自由度始終受幾何約束。幾何規(guī)定了電磁場(chǎng)如何被激發(fā)、如何在空間中變化，以及這些變化能否被觀察和區(qū)分。理解這一點(diǎn)后，立體天線的意義就更清楚了：它并不違背平面孔徑的物理規(guī)律，而是通過重新組織幾何邊界，改變系統(tǒng)可訪問的模式集合。

08

立體天線能解決什么：更充分地訪問模式空間

上一節(jié)說明，幾何決定系統(tǒng)能夠訪問哪些電磁模式。由此自然引出一個(gè)工程問題：如果平面孔徑已經(jīng)受到限制，能否通過三維布局、多層陣列或包圍式孔徑來更充分地提取信息？這正是立體天線和三維陣列受到關(guān)注的主要原因[14—16]。

需要先說明，立體天線并不是無條件地創(chuàng)造新的物理自由度。它的價(jià)值在于改變陣列的幾何邊界、陣元朝向和空間層次，使系統(tǒng)能夠訪問平面陣列不容易訪問的模式。換句話說，它不是改變麥克斯韋方程，而是改變系統(tǒng)利用電磁模式的方式。

平面孔徑主要控制一個(gè)二維邊界上的等效電流或場(chǎng)分布。在遠(yuǎn)場(chǎng)、窄角域問題中，這通常已經(jīng)足夠，但在近場(chǎng)、寬角掃描、多用戶分布復(fù)雜、通信—感知一體化以及三維成像任務(wù)中，二維平面可能無法充分覆蓋有用的傳播方向和波前曲率。特別是在大角度方向上，平面孔徑的有效投影會(huì)變小，可利用的空間帶寬也會(huì)下降。立體天線通過多高度、多朝向或包圍式布局，有可能在更寬角域內(nèi)保持較大的有效孔徑，從而提高可訪問自由度，如圖3所示。

圖3 平面陣列與立體陣列的幾何構(gòu)型及其自由度差異 (a)位于金屬反射板上方的單層偶極子平面陣列；(b)采用交替高度排布的立體天線陣列；(c)兩類陣列在大角度方向上的有效投影孔徑對(duì)比；(d)在陣列總長度固定條件下，有效自由度隨天線數(shù)量和高度差變化的結(jié)果，可以看到立體幾何在適當(dāng)高度差條件下可提供高于平面陣列的有效自由度

從相空間角度看，立體天線的作用是改變可訪問區(qū)域的形狀和覆蓋范圍。不同高度層可以更好地感知近場(chǎng)球面波前，不同朝向的子陣列可以覆蓋更寬角域，包圍式布局則有利于區(qū)分不同空間位置的目標(biāo)或用戶。這些能力并不意味著“憑空多出自由度”，而是意味著原先難以被平面孔徑讀取的模式，現(xiàn)在有機(jī)會(huì)被激發(fā)、組合和區(qū)分。

這也給出了一條較明確的解決路徑。若目標(biāo)是在有限孔徑、有限功率和有限噪聲條件下提高信息提取質(zhì)量，可以從三方面入手：第一，重構(gòu)幾何，使孔徑能看到更多有用方向和波前曲率；第二，優(yōu)化采樣，使離散端口覆蓋主要模式而不過度冗余；第三，結(jié)合編碼測(cè)量和重構(gòu)算法，把可訪問模式穩(wěn)定轉(zhuǎn)化為通信容量、感知分辨率或成像質(zhì)量。立體天線正是第一條路徑的代表，但它需要與采樣、編碼和算法共同設(shè)計(jì)。

當(dāng)然，立體天線并非總能帶來顯著收益。如果系統(tǒng)工作在典型遠(yuǎn)場(chǎng)、窄角域和簡單散射環(huán)境中，三維布局的提升可能主要體現(xiàn)在掃描性能、魯棒性或工程實(shí)現(xiàn)上，而不一定表現(xiàn)為更多自由度。相反，在近場(chǎng)、大孔徑、寬角覆蓋、多目標(biāo)解析和感知成像任務(wù)中，立體幾何的優(yōu)勢(shì)更容易顯現(xiàn)。

因此，所謂“突破平面孔徑限制”應(yīng)理解為：它突破的是傳統(tǒng)平面陣列的模式組織方式，而不是基本物理上限。立體天線最重要的啟示，是把設(shè)計(jì)思路從“增加多少端口”轉(zhuǎn)向“怎樣組織可訪問模式”。這也是電磁信息論能夠給陣列設(shè)計(jì)帶來的實(shí)際價(jià)值。

09

從模式數(shù)到容量：自由度如何影響香農(nóng)容量

前文說明，自由度不是天線數(shù)，也不是信道矩陣的維數(shù)，而是在給定幾何、頻率、傳播環(huán)境和噪聲條件下，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定調(diào)用的電磁模式數(shù)。接下來需要回答的是：這些模式數(shù)如何影響Shannon意義下的信道容量。

一個(gè)電磁系統(tǒng)的總自由度通常來自多個(gè)維度。時(shí)間上，有限觀測(cè)時(shí)長和有限帶寬決定可用的時(shí)間模式；空間上，孔徑尺寸、傳播距離和空間帶寬決定可用的空間模式；如果考慮極化，還會(huì)引入額外的矢量模式。因此，總自由度不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)參數(shù)，而是時(shí)間、空間、極化共同決定的可用模式數(shù)。

在一個(gè)理想化但有啟發(fā)性的近似下，若系統(tǒng)總共能夠調(diào)用DoFtot個(gè)可用自由度，總信噪比為γ，則容量可寫成：

這個(gè)式子表示的不是精確常數(shù)，而是一個(gè)基本權(quán)衡：自由度越多，可并行使用的模式越多；但如果總功率不變，每個(gè)模式分到的能量會(huì)減少，單個(gè)模式上的信噪比也會(huì)下降。因此，容量提升來自“更多并行模式”和“每個(gè)模式信噪比降低”之間的平衡。

從這個(gè)角度看，增加帶寬、擴(kuò)大孔徑、優(yōu)化極化或采用三維幾何，都是為了增加可用模式，或者更有效地利用已有模式。增加帶寬，可以增加時(shí)間模式；擴(kuò)大孔徑或改善幾何，可以增加空間模式；合理利用極化，可以調(diào)用更多矢量場(chǎng)結(jié)構(gòu)。這些技術(shù)路徑表面不同，但共同目標(biāo)都是把電磁場(chǎng)允許的自由度轉(zhuǎn)化為可靠的信息傳輸能力。

因此，容量不應(yīng)被看成脫離電磁物理的抽象數(shù)字。信道矩陣為什么有較高秩，寬帶系統(tǒng)為什么能支持更高速率，三維孔徑為什么可能帶來性能提升，背后都與可訪問模式的數(shù)量和質(zhì)量有關(guān)。如果可用模式?jīng)]有增加，矩陣維數(shù)再大、端口再密，也很難從根本上提高容量；如果系統(tǒng)確實(shí)打開了新的時(shí)間模式、空間模式或極化模式，容量提升才有物理基礎(chǔ)。

這樣，前文幾個(gè)問題就可以聯(lián)系起來：更多天線不一定意味著更多信息，因?yàn)槎丝跀?shù)不等于模式數(shù)；采樣點(diǎn)數(shù)不等于自由度，因?yàn)樽杂啥仁芟嗫臻g范圍限制；幾何重要，是因?yàn)樗鼪Q定哪些模式能夠被激發(fā)、傳播和接收；立體天線值得研究，是因?yàn)樗赡芨淖兿到y(tǒng)可訪問的模式集合。換句話說，Shannon容量并沒有脫離麥克斯韋電磁學(xué)，它可以看成電磁模式資源在信息論層面的表現(xiàn)。

10

未來方向：怎樣更高效地提取電磁信息

前文討論了自由度、采樣、幾何和容量之間的關(guān)系。對(duì)工程研究來說，更重要的問題是：知道這些約束以后，怎樣才能更高效地提取信息？可以從以下幾條路徑入手。

(1)面向任務(wù)設(shè)計(jì)孔徑和幾何。傳統(tǒng)系統(tǒng)常先確定陣列形狀，再研究信道和算法。面向電磁信息論的設(shè)計(jì)可以反過來問：目標(biāo)任務(wù)需要哪些模式？這些模式對(duì)應(yīng)哪些方向、距離、極化和波前曲率？如果平面孔徑不足以覆蓋這些模式，就可以考慮三維陣列、多面孔徑、可重構(gòu)表面或環(huán)境協(xié)同調(diào)控。立體天線正是其中一條具體路徑。

(2)面向模式設(shè)計(jì)采樣。離散端口的間距、數(shù)量和位置，不應(yīng)只按固定半波長規(guī)則機(jī)械設(shè)置，而應(yīng)與實(shí)際可訪問的空間帶寬匹配。過稀會(huì)丟失模式，過密會(huì)帶來互耦、效率下降和硬件成本。非均勻采樣、稀疏陣列和混合模擬—數(shù)字架構(gòu)，可以看作在有限硬件條件下更有效讀取主要模式的方法。

(3)面向噪聲選擇模式。在有限功率和有限噪聲環(huán)境中，并非所有模式都值得使用。過弱或病態(tài)的模式會(huì)消耗能量，卻難以提供穩(wěn)定信息。因此，容量提升不僅依賴自由度數(shù)量，也依賴模式質(zhì)量。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，應(yīng)結(jié)合奇異值譜、輻射效率、互耦、熱噪聲和硬件噪聲，優(yōu)先激發(fā)和接收穩(wěn)定模式。

(4)統(tǒng)一編碼測(cè)量與亞奈奎斯特恢復(fù)。低于傳統(tǒng)奈奎斯特率的測(cè)量，并不意味著突破自由度上限，而是利用了信號(hào)結(jié)構(gòu)或任務(wù)先驗(yàn)。例如，當(dāng)目標(biāo)稀疏、場(chǎng)景低維或圖像具有結(jié)構(gòu)規(guī)律時(shí)，壓縮感知和編碼孔徑可以用較少測(cè)量恢復(fù)關(guān)鍵信息。這里的重點(diǎn)不是“少采樣獲得無限信息”，而是把有限測(cè)量用在最有價(jià)值的模式上。

(5)引入先驗(yàn)信息和人工智能。在通信—感知一體化中，系統(tǒng)通常不是從零開始觀測(cè)世界。目標(biāo)位置、運(yùn)動(dòng)規(guī)律、場(chǎng)景地圖、材料特征、歷史觀測(cè)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，都可以作為先驗(yàn)信息（注：先驗(yàn)信息是指觀測(cè)之前已經(jīng)知道或可以合理假設(shè)的信息，例如目標(biāo)稀疏性、場(chǎng)景幾何、運(yùn)動(dòng)連續(xù)性或訓(xùn)練數(shù)據(jù)中學(xué)到的統(tǒng)計(jì)規(guī)律)。這些先驗(yàn)不會(huì)改變基本物理上限，但可以提高信息提取效率，使系統(tǒng)在較少測(cè)量下完成檢測(cè)、定位、成像或資源分配。

(6)向量子和量子啟發(fā)方向擴(kuò)展。本文主要討論經(jīng)典電磁場(chǎng)和經(jīng)典信息論，若進(jìn)一步考慮量子化電磁場(chǎng)，光子數(shù)態(tài)、糾纏、壓縮態(tài)和量子測(cè)量會(huì)帶來新的信息編碼與探測(cè)方式。它們能擴(kuò)展可利用的信息空間，也會(huì)引入新的噪聲和測(cè)量限制。未來需要進(jìn)一步理解經(jīng)典電磁自由度、量子態(tài)空間和實(shí)際測(cè)量能力之間的關(guān)系。

這些方向可以概括為一句話：未來物理層設(shè)計(jì)不應(yīng)只研究“給定信道上怎樣傳得更快”，還應(yīng)研究“怎樣通過幾何、材料、編碼、采樣和先驗(yàn)信息共同塑造信道”。通信、感知和成像的共同目標(biāo)，是在有限孔徑、有限帶寬、有限能量和受限噪聲條件下，把更多有用模式轉(zhuǎn)化為可靠信息。

11

結(jié)語：當(dāng)信息論回到電磁視角

從Gabor的信息圖到Shannon的容量，從圖像自由度到有限體積之間的波通道，再到今天的連續(xù)孔徑、全息MIMO和立體天線，許多問題都指向同一個(gè)核心：在有限孔徑、有限帶寬、有限能量和受限噪聲條件下，有多少個(gè)獨(dú)立模式能夠穩(wěn)定承載信息？

本文用較直觀的方式說明三點(diǎn)。第一，自由度不是天線數(shù)，而是可分辨、可利用的電磁模式數(shù)。第二，采樣不是單純的離散化技巧，而是有限自由度在工程端口上的表現(xiàn)。第三，立體天線和三維孔徑的意義，不是打破基本物理規(guī)律，而是通過改變幾何邊界，更充分地組織和讀取可用模式。

因此，討論Shannon容量與麥克斯韋方程之間的關(guān)系，并不是要否定經(jīng)典信息論，也不是把已有概念重新包裝。它的價(jià)值在于提供一個(gè)更清楚的判斷標(biāo)準(zhǔn)：什么時(shí)候增加天線能夠帶來新信息，什么時(shí)候只是冗余采樣；什么時(shí)候近場(chǎng)和三維幾何能夠打開新的模式資源，什么時(shí)候收益主要來自工程實(shí)現(xiàn)。沿著這一視角，通信、感知和成像可以放在同一幅圖景中理解：它們本質(zhì)上都在有限物理資源下提取電磁場(chǎng)中的有用信息。

未來的電磁信息論不應(yīng)只停留在解釋現(xiàn)象上，還應(yīng)進(jìn)一步指導(dǎo)設(shè)計(jì)：怎樣選擇孔徑，怎樣布置端口，怎樣編碼測(cè)量，怎樣利用先驗(yàn)信息，怎樣在噪聲和硬件約束下選擇穩(wěn)定模式。歸根到底，信息論和電磁學(xué)并不是兩個(gè)分離的框架，而是共同服務(wù)于一個(gè)目標(biāo)：更高效、更可靠地從電磁場(chǎng)中提取信息。

致 謝感謝浙江大學(xué)的高權(quán)和劉初禹同學(xué)協(xié)助完成文本插圖的繪制。本研究工作得到了華為技術(shù)有限公司的資助與技術(shù)支持。

參考文獻(xiàn)

[1]Gabor D.Journal of the Institution of Electrical Engineers-Part III：Radio and Communication Engineering，1946，93(26)：429

[2]Shannon C E.The Bell System Technical Journal，1948，27(4)：623

[3]Toraldo di Francia G.Journal of the Optical Society of America，1969，59(7)：799

[4]Miller D A B.Optics Letters，1998，23(21)：1645

[5]Migliore M D.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，56(10)：3188

[6]Yuan S S A，He Z，Chen X et al.IEEE Antennas and Wireless

Propagation Letters，2022，21(3)：446

[7]Li R，Li D，Ma J et al.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2023，71(4)：3497

[8]Yuan S S A，Chen X，Huang C et al.IEEE Open Journal of Antennas and Propagation，2023，4：237

[9]Wang C X，Yang Y，Huang J et al.IEEE Wireless Communications，2024，31(5)：279

[10]Zhu J，Wan Z，Dai L et al.IEEE Wireless Communications，2024，31(3)：156

[11]Gong T，Gavriilidis P，Ji R et al.IEEE Communications Surveys&Tutorials，2024，26(1)：196

[12]Lohmann A W，Mendlovic D，Zalevsky Z.Journal of the Optical Society of America A，1996，13(3)：470

[13]Gustafsson M.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2025，73(2)：1028

[14]Yuan S S A，Wu J，Xu H et al.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2024，73(8)：11276

[15]Ji R，Huang C，Chen X et al. Science China Information Sciences，2026，69：152301

[16]Gao Q，Yuan S S A，Wang Z et al.Electromagnetic Science，2026，4(2)：1

（參考文獻(xiàn)可上下滑動(dòng)查看）

信息的度量、承載與安全專題

歡迎訂閱2026年《物理》雜志

《物理》是由中國科學(xué)院物理研究所和中國物理學(xué)會(huì)主辦的權(quán)威物理類中文科普期刊，注重學(xué)科性與科普性相結(jié)合，秉承“輕松閱讀，享受物理”的辦刊理念，集學(xué)科大家之力，追蹤物理學(xué)成果，服務(wù)物理學(xué)領(lǐng)域，促進(jìn)學(xué)科交叉，讓科學(xué)變得通俗易懂。已成為我國眾多物理專業(yè)的大學(xué)生、研究生、物理學(xué)家案頭常讀的刊物之一。

(期刊訂閱)

訂閱方式：編輯部直接訂閱優(yōu)惠價(jià)240元/年，全國包郵。

方式1微信訂閱

在“物理所財(cái)務(wù)處”微信公眾號(hào)繳費(fèi)，操作如下：公號(hào)下方“業(yè)務(wù)辦理”-“訂刊費(fèi)”-收費(fèi)部門“《物理》編輯部”，之后填寫相應(yīng)信息。如有問題，可添加編輯微信咨詢：18627635857。

(注：僅針對(duì)需要對(duì)公開電子發(fā)票的讀者，且務(wù)必提供正確的單位名稱和單位稅號(hào))

方式2銀行匯款

開戶行：中國農(nóng)業(yè)銀行北京科院南路支行

戶 名：中國科學(xué)院物理研究所

帳 號(hào)：11250101040005699

（注：請(qǐng)注明“《物理》編輯部”，匯款成功后請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系編輯部登記郵寄地址）

編輯部聯(lián)系方式：

咨詢電話：010-82649277；82649029

Email：physics@iphy.ac.cn

(贈(zèng)閱活動(dòng))

為答謝廣大讀者長期以來的關(guān)愛和支持，《物理》編輯部特推出優(yōu)惠訂閱活動(dòng)：凡直接向編輯部連續(xù)訂閱2年《物理》雜志，將獲贈(zèng)《歲月有情- <物理> 50周年紀(jì)念本》。內(nèi)有自1972年至2022年《物理》發(fā)表的50篇精選文章信息，掃描對(duì)應(yīng)的二維碼，可重溫經(jīng)典之作，感悟物理科學(xué)的真諦，領(lǐng)略學(xué)科大家的風(fēng)采。希望讀者們愛上《物理》!