新書《數(shù)學(xué)奇幻之旅》上市！！講述邏輯、無窮與現(xiàn)實問題三大版塊，這是用旅行、歷史與對話編織成的一部數(shù)學(xué)漫游記。

在16個探險故事里，沒有晦澀的術(shù)語，只有生活的故事；沒有艱深的知識，只有發(fā)現(xiàn)的驚喜；沒有枯燥的論證，只有思考的樂趣。

數(shù)學(xué)等待著每一位好奇的旅人，與之不期而遇。

馬祖爾是一位才華橫溢的教師，對數(shù)學(xué)了如指掌。這本書文筆優(yōu)美，生動的故事帶領(lǐng)讀者輕松直達數(shù)學(xué)的核心——邏輯與證明。這本書人人皆可讀。

——伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

改變世界的17個方程》作者

這本書幫了大眾一個大忙，它將數(shù)學(xué)的玄奧與方法重新帶回本屬于它們的世界：市集、咖啡館、課堂、人行道、帆船、雨林……讓我們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的美和力量，同時不忘提醒我們：在人類史這場“大戲”中，數(shù)學(xué)始終扮演著重要角色。

——《數(shù)學(xué)智者》雜志

來源 |《數(shù)學(xué)奇幻之旅：16個探險故事》

作者 | [美] 約瑟夫·馬祖爾

譯者 | 應(yīng)俊耀　蔚　怡

01

勾股定理是正確的嗎？

鎮(zhèn)長有理由感到自豪。

鎮(zhèn)上的圖書館是一座單室的木制平房，內(nèi)部從地板到低矮的天花板都涂著鮮艷的顏色。兩扇窗戶和前門將陽光迎進來，反射到壁畫上。壁畫上繪著仿真的門窗，繪畫技藝高超，畫中光線明亮，讓我們仿佛看到了墻外的巨型蕨類植物。

圖書很舊，品相也很差，橫七豎八地倚靠在矮書架上的牛奶箱邊。兩把圓底的金屬線椅朝向窗戶擺放著，這種椅子坐起來并不舒服，當時在美國的冰淇淋店很流行。

地板上隱約畫著一個內(nèi)接于圓的五角星，由于地板磨損嚴重，幾乎看不見了。

潮濕和霉變污損了很多圖書。還有一些書的情況更糟，因為它們不幸被存放在了屋頂漏水的位置下方。

但是，隨便拿起任何書架上的任何一本書，你都會被它吸引，幾乎忘了自己只是想瀏覽一下而不是深入閱讀。

我發(fā)現(xiàn)了一本1889年用英文寫的數(shù)學(xué)書，它的書名吸引了我，其中包含歐幾里得這個名字。這本發(fā)霉的書，硬皮封面卷曲，翻開的書頁上有一幅圖，跟那個小學(xué)男孩畫在《亂世佳人》海報背面的圖一樣。

當我翻開某一頁,一張疊得整整齊齊的紙條從書里掉了下來：一幅與我涂鴉的那幅幾乎一模一樣的插圖，那幅赫蘇斯聲稱就是證明的插圖。看來有人也曾試圖從插圖中找出證明。

我借來這本書進一步研讀。赫蘇斯不知道的是，古埃及人很早以前就發(fā)現(xiàn)了他的證明。這本書聲稱，毫無疑問，早在古希臘旅行者來到北非大陸之前，古埃及人就已經(jīng)在剖析圍成封閉區(qū)域的圖形，并研究幾何學(xué)的一般概念了。

鎮(zhèn)長把我們留在桃花心木下的桌子旁，我在那里休息，讀著借來的書。鎮(zhèn)民們在四處走動，幾個學(xué)齡前的孩子在遠處看著。我很高興又多了一本用英文寫的書。

我驚訝地發(fā)現(xiàn)，古埃及人支持一般性定理的論據(jù)非常有說服力，盡管我確信這些論據(jù)還遠遠達不到古希臘人的嚴謹標準。古希臘人留下了畢達哥拉斯學(xué)派或泰勒斯這樣的名號，而這些古埃及人則是沒有名字的。

歷史只稱他們?yōu)椤肮虐＜叭恕保矝]有記錄他們做出貢獻的時間。他們可能從開始建造胡夫金字塔，到特洛伊戰(zhàn)爭結(jié)束的任何時間里都做出過貢獻。

這很可能是因為在古埃及和更早的古代文明中，文字和數(shù)學(xué)方面的特殊知識僅限于祭祀階層掌握，而他們壟斷并保存了這些知識，并將它們歸結(jié)為神圣的教條。

這本書講述了泰勒斯的故事，作者本人似乎相當了解他。書中描繪了一個不斷往返航行于家鄉(xiāng)米利都和埃及的人，從事著莎草紙、農(nóng)具、船只、橄欖油和橄欖榨油機的買賣。

在埃及期間，泰勒斯遇到了一位牧師，這位牧師帶他去瞻仰金字塔，當時太陽下的金字塔正沿著金色沙漠的地面投下一道尖尖的陰影，這讓他很受啟發(fā)。

就在那一瞬間，泰勒斯產(chǎn)生了一個想法：他是否能僅僅通過測量陰影來確定金字塔的高度呢？他把一根桿子戳進沙子里，等待著一天中桿子的影子長度等于桿子高度的那一刻。這時，金字塔影子的長度也就等于金字塔的高度。他很快就把特殊的觀察結(jié)果變成了一般性的真理。

亞里士多德講了一個故事，用來證明泰勒斯精明的商業(yè)頭腦。在一座橄欖園里，泰勒斯在一棵光禿禿的橄欖樹下吃著新鮮的無花果，他意識到一棵樹能否結(jié)出豐碩的果實取決于天氣，而天氣又是遵循周期規(guī)律的。

隨后，他想到了如何利用天文觀測來預(yù)測有利于橄欖生長的天氣條件，并買下了米利都幾乎所有的橄欖榨油機，占領(lǐng)了市場，獲得了可觀的經(jīng)濟收益。我們從普羅克洛斯、普魯塔克、伊索、柏拉圖以及其他許多人那里了解到有關(guān)泰勒斯的有趣逸事，對他本人卻知之甚少。

伊索講述了一個關(guān)于泰勒斯的毛驢的故事：有一天，毛驢不小心在溪水里打了個滾，于是便學(xué)會了如何減輕鹽袋的重量。泰勒斯用一個妙招就解決了這個問題——他將毛驢背上的鹽袋換成了海綿。

柏拉圖講述的泰勒斯掉進溝里的故事，可能是“心不在焉的教授”這一刻板印象的出處。泰勒斯的一名隨從大聲說道：“你知道天上發(fā)生了什么，卻看不見腳下發(fā)生了什么。

古埃及法老雅赫摩斯二世聽說了泰勒斯測量金字塔高度的高超技術(shù)，便邀請他進宮。當時，一位藝術(shù)家正在一間大殿里繪制壁畫。他在墻上做了方形標記，以便將人物排成一行并確定方向。這些標記啟發(fā)了泰勒斯的下一個想法。

他注意到，只要畫一幅與宮廷畫家的標記相似的圖，就能證明勾股定理的一個特例（等腰直角三角形）。（這與第1 章所述我的證明相同。

古埃及人知道，邊長為特定尺寸（如3、4、5）的三角形必定為直角三角形，但在泰勒斯之前，古埃及人是否知道該定理的普遍意義，還是有疑問的。

在泰勒斯之后的近一千年，哲學(xué)家兼歷史學(xué)家普羅克洛斯在作品中把幾個重要數(shù)學(xué)事實的發(fā)現(xiàn)歸功于泰勒斯。

他寫道，在泰勒斯發(fā)現(xiàn)半圓內(nèi)的圓周角是直角后，一頭牛被獻祭了。畢達哥拉斯學(xué)派在發(fā)現(xiàn)他們著名的定理時也曾有過這樣的獻祭故事，但這與他們禁止吃肉的教規(guī)相悖。普

羅克洛斯還告訴我們，泰勒斯發(fā)現(xiàn)一個圓被它的直徑一分為二，但我們不知道他是如何證明的。

這本書里的這幅圖，據(jù)說是泰勒斯畫的，與我在證明勾股定理對等腰直角三角形成立時畫的那幅極為相似。

這是誰的證明，是赫蘇斯的還是我的？我只是隨手涂鴉，赫蘇斯受到我涂鴉的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了證明。這是赫蘇斯的證明，因為他用這幅圖進行了論證（重新排列了三角形），證明了勾股定理是正確的。他的證明讓人想起了圣毛里西奧的那名小學(xué)生在《亂世佳人》海報背面展示的古印度證明，但更加幾何化。

古印度證明需要一點算術(shù)技巧，你必須進行面積的相減和比較，才能確信這個定理是正確的。

當鎮(zhèn)上的學(xué)校放學(xué)時，我平靜的閱讀戛然而止，一群孩子圍著我，咯咯地笑著。

我逃了出來，在鎮(zhèn)子邊緣的狹窄街道上找到了羅杰。塵土飛揚的馬路漸漸變成碎石土路，土路越來越窄，最后變成長滿雜草的林間小道。

02

什么是證明？

那天上午晚些時候，我們離開了圣毛里西奧。我們的軍用卡車在通往卡夫魯塔和奧里諾科河軍營的泥濘道路上左右顛簸，我和羅杰都得抓緊卡車的立桿。

米格爾在我們到達鎮(zhèn)上之前命令我和羅杰下車，因為擔心他的指揮官會看到我們。到鎮(zhèn)上的最后幾英里我們是走著的。

一只迷路的卷尾猴在我們身邊嬉戲奔跑，酷似一個披著頭巾的修士，而我則向羅杰表達了我的憂慮。

在我說話的時候，羅杰在龍血樹上發(fā)現(xiàn)了巨嘴鳥和金剛鸚鵡。他掰了掰指關(guān)節(jié)，用他慣用的令人討厭的方式開始了他慣有的自言自語。

這一次，他講述了1856年理查德·伯頓和約翰·斯皮克從桑給巴爾出發(fā)，冒險尋找尼羅河源頭的故事，那里“從來沒有白人到過”。我們像往常一樣坐在路邊，一邊寫日記，一邊吃著干果。一只可愛的小蜜熊在附近的樹上玩耍。

我在小筆記本上粗略地寫下只言片語，記錄我的觀察；羅杰則在寫詩。他會不假思索地寫出一行行精彩的詩句，一氣呵成，仿佛他的文字是從腦海中的幕布上流淌出來的，而他只是一個抄寫員，奮筆疾書的速度勉強能跟上他的思路。

他寫完一頁，便會把這一頁從筆記本上撕下扔掉，盡管他還在繼續(xù)寫著同一首詩。我會彎腰撿起他的詩稿，有時還得用腳去擋風(fēng)中飛揚的紙頁，把它們收進我的小背包。

在查看地圖并繼續(xù)上路之后，羅杰承認前往拉埃斯梅拉達非常困難。但這并沒有阻止他繼續(xù)講伯頓和斯皮克的故事。

“你看到了嗎？”他打斷自己，指著看起來像是玉米地的地方問道。遠遠看去，我們可以看到一群光著身子的孩子在龍血樹上模仿調(diào)皮搗蛋的蜘蛛猴，附近有一群正在吃草的原駝。這些孩子是當?shù)氐呐良{雷斯土著。

再往前走一點，我們看到一群年長的帕納雷斯婦女和一位年輕美麗的女子。年輕女子前胸裸露，背著幾只色彩斑斕的幾何圖案籃子。羅杰看著我，掰了掰指關(guān)節(jié)，問我我們看到的是不是真的。

他走近那群女人，她們咯咯地笑著退了回去。但是當孩子們跑過去加入她們時，她們有了足夠的勇氣允許羅杰走近。羅杰表示他想買一只籃子。他慷慨地給了這位年輕的帕納雷斯女子一些玻利瓦爾；她回贈了羅杰一瓶卡奇里（cachiri），這是一種用甘蔗和發(fā)酵玉米制成的飲料。當我們到達卡夫魯塔郊區(qū)時，烈日當空，熱浪滾滾，狹窄的街道上塵土飛揚。

我們的水已經(jīng)喝完，盛卡奇里的瓶子幾乎空了。通往主廣場的街道一片寧靜，這讓我們產(chǎn)生了一種怪異的感覺，覺得自己是來自另一個世界的闖入者。此時是午休時間。當我們緊張地向小鎮(zhèn)中心走去時，幾個坐在丘魯阿塔前木椅上的老人好奇地注視著我們。

圣若瑟教堂正對著小鎮(zhèn)中心的一座廣場，周圍綠樹成蔭。這是一棟簡單的棕褐色土坯建筑，有一座華麗卻破敗不堪的鐘樓，它見證過曾經(jīng)美好的時光。教堂內(nèi)，自然光透過穹頂上的窗洞照射在耶穌受難像上，在白墻的映襯下，營造出沉思冥想的氛圍。

我們坐在長木椅上休息，冥想著畫像中所描繪的痛苦和犧牲，仿佛我們是受邀來到這里的。然后，赫蘇斯打開前門，興奮地跑過來告訴我們，他有了一個簡單又無懈可擊的勾股定理的證明。

“赫蘇斯，”我說，“我們先吃點喝點吧。”

赫蘇斯在卡夫魯塔有親戚。他的另一位叔叔豪爾赫（Jorge）住在小鎮(zhèn)邊緣一處復(fù)雜的鐵皮屋頂房子里，他的嬸嬸是一個纖細而和藹的女人，有一雙深藍色的眼睛。

在赫蘇斯展示他的證明時，她準備了一頓鱸魚土豆湯和玉米粉面包。赫蘇斯把一小包卷曲的紙放在屋外的桌子上，鎮(zhèn)上越來越多好奇的孩子和各種各樣的寵物聚集在一起，打量著我們這兩個面孔白凈的外國人。

“看這個，”他一邊在其中一張紙上畫畫，一邊笑著說，“這不是關(guān)于直角三角形上的正方形的，而是關(guān)于比例的問題。比如這個團塊，”他邊說邊畫了一個直角三角形ABC，旁邊則畫著那個團塊，“在這塊兒畫一條線段，使其長度與三角形的直角邊AB相等。”

“現(xiàn)在把團塊放大，這樣線段AB就和三角形的直角邊BC一樣長了。”

他畫了一個新的團塊。“再次放大這個團塊，使線段BC與三角形的斜邊AC相等。”

他又畫了第三個團塊。“好了！第一個團塊的面積加上第二個團塊的面積等于第三個團塊的面積。”

他咧開嘴笑著說，露出了兩顆金牙。聽到這里，羅杰設(shè)法接過話頭，好像在翻譯一樣。而赫蘇斯此時陷入了沉默。

“任意畫一個直角三角形。”羅杰邊說邊畫了一個直角三角形，并從直角頂點向斜邊畫了一條垂線。

“你們看，”他最后說道，“這就是證明。沒有人能懷疑，兩直角邊上的三角形面積之和等于斜邊上的三角形面積，因為直角邊上的兩個小三角形完美地嵌套在了大三角形里面！”

發(fā)音大舌頭并不是問題所在，我實在不明白這里的數(shù)學(xué)，但赫蘇斯似乎聽懂了。

“是的！當然！”赫蘇斯說，“小三角形就是第一個團塊，大一點的三角形是按比例放大的第二個團塊，初始三角形是最大的那個團塊！”

“但是，”我說道，總覺得遺漏了些什么，“你證明了你的圖形對直角三角形是成立的，你怎么知道它對其他形狀也成立呢？”

“啊哈！”羅杰叫道，“這是比例的問題，看好了。”然后，他寫出了數(shù)學(xué)公式來證實他的論證證明了經(jīng)典的勾股定理。

那是我第一次學(xué)到這種最優(yōu)雅、靈巧的證明。多年以后，我才知道愛因斯坦在年輕時就發(fā)現(xiàn)了這個證明。要么是羅杰獨立于愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的，要么是他從以前看到的東西中回憶出來的。

勾股定理的古老證明載于歐幾里得的《幾何原本》第1卷。它是全書的第47個命題，也是倒數(shù)第2個命題，需要用前面的28個命題來證明它。這個證明的確是嚴謹而優(yōu)美的，但我們真的需要28個命題才能說服自己嗎？

赫蘇斯和羅杰給我看的證明是優(yōu)雅的，絕對令人信服。如果下面左圖是古印度的證明，那么右圖就是西方的證明。

“看”把整個故事告訴了有足夠數(shù)學(xué)經(jīng)驗的人，讓他知道勾股定理不是關(guān)于正方形的，而是關(guān)于面積相互關(guān)聯(lián)的圖形的，就像三角形的邊相互關(guān)聯(lián)一樣。

換句話說，如果你已經(jīng)證明了這個定理對于一種幾何圖形（比如三角形）是成立的，那么你就已經(jīng)證明了它對任何其他幾何圖形（比如正方形、圓形或團塊）也是成立的。

有人可能想知道，既然愛因斯坦的證明似乎是完全令人信服的，那么為什么歐幾里得還構(gòu)建了一個如此復(fù)雜的證明呢？再回過頭來看看愛因斯坦的證明。

當我們把這個證明從三角形擴展到其他形狀，特別是正方形時，我們發(fā)現(xiàn)，首先需要知道一些關(guān)于比例的知識，然后要知道如何使用代數(shù)來操縱比例，這樣才能將它們轉(zhuǎn)化成正方形。我們天真又理所當然地忽略了是什么允許我們以這樣的方式操縱符號。

總而言之，要證明那些關(guān)于比例的事實，以及愛因斯坦證明中使用的那種符號操作的有效性，可能需要與歐幾里得第47個命題所需一樣多的命題。

《數(shù)學(xué)奇幻之旅：16個探險故事》

作者 | [美] 約瑟夫·馬祖爾

譯者 | 應(yīng)俊耀　蔚　怡

美國圖書館協(xié)會《選擇》雜志“年度杰出學(xué)術(shù)著作獎”。

《衛(wèi)報》“十佳數(shù)學(xué)科普圖書”本書被譽為“人類智慧探索的珍寶”探險故事，像追劇一樣讀完。

本書既沒有復(fù)雜的證明、公式，也沒有令人生畏的數(shù)學(xué)術(shù)語，作者用旅行和探險故事、校園生活、科學(xué)名人和歷史故事、與孩子們的對話等內(nèi)容，將現(xiàn)實世界的經(jīng)驗與數(shù)學(xué)，物理世界的實在和抽象與邏輯相關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)好似一片繁茂的雨林，我們漫步其中，感受到的不僅是偉大的智慧、深邃的思想和嚴密的論證，也有思考的快樂。適合大眾讀者閱讀。