女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我們生活的世界是嚴(yán)格三維的：上下、左右、前后——這些是僅有的移動(dòng)方向。多年來(lái)，科學(xué)家和科幻作家一直在思考更高維空間的可能性。一個(gè)四維或五維的宇宙會(huì)是什么樣子？或者，我們是否已經(jīng)生活在這樣一個(gè)空間里——我們?nèi)S的家園不過(guò)是高維空間中的一個(gè)切片，就像切三維立方體得到的是一個(gè)二維正方形一樣？

根據(jù)20世紀(jì)早期的恐怖小說(shuō)作家H.P.洛夫克拉夫特的說(shuō)法，這些高維空間確實(shí)存在，并且是各種邪惡生物的家園。在洛夫克拉夫特的神話(huà)體系中，這些存在中最可怕的一位名叫約格·索托斯。有趣的是，在少數(shù)約格·索托斯現(xiàn)身人類(lèi)世界的場(chǎng)合中，它會(huì)以“一團(tuán)五彩斑斕的球體聚集……其惡意暗示之強(qiáng)烈令人驚駭”的形象出現(xiàn)。

洛夫克拉夫特對(duì)數(shù)學(xué)頗感興趣，確實(shí)也運(yùn)用了諸如雙曲幾何之類(lèi)的思想來(lái)增添其故事的離奇感（正如托馬斯·赫爾在《數(shù)學(xué)視野》Math Horizons中所討論的那樣）。但他不可能知道，以這種方式來(lái)表現(xiàn)約格·索托斯是多么幸運(yùn)的選擇。奇異球面確實(shí)是通往高維世界的鑰匙，而近年來(lái)我們對(duì)它們的理解也有了極大的提升。在過(guò)去50年里，一門(mén)稱(chēng)為微分拓?fù)涞膶W(xué)科發(fā)展起來(lái)，并揭示了這些高維空間究竟有多么奇異陌生。

高維空間與超球面

高維空間真的存在嗎？數(shù)學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了一個(gè)令人驚訝的明確回答。正如二維平面可以通過(guò)參照一對(duì)坐標(biāo)軸、用坐標(biāo)對(duì)（如 (5,6)）來(lái)描述一樣，三維空間可以用數(shù)的三元組（如 (5,6,3)）來(lái)描述。當(dāng)然，我們可以沿著這個(gè)思路繼續(xù)想下去：對(duì)數(shù)學(xué)家而言，四維空間就是由實(shí)數(shù)的四元組構(gòu)成的集合，例如 (5,6,3,2)。這一方法可以推廣到所有更高維度。當(dāng)然，這并沒(méi)有回答物理學(xué)家的疑問(wèn)：這些維度是否具有客觀的物理存在性。但至少在數(shù)學(xué)上，只要你相信數(shù)的存在，你就別無(wú)選擇，也只能相信四維空間的存在。

這倒是不錯(cuò)，但這樣的空間該如何想象呢？約格·索托斯的巢穴到底長(zhǎng)什么樣？這是一個(gè)更難回答的問(wèn)題，因?yàn)槲覀兊拇竽X并不具備在超過(guò)三維的空間中進(jìn)行視覺(jué)感知的能力。不過(guò)，數(shù)學(xué)方法仍然可以幫上忙——首先，它允許我們將那些在更為熟悉的空間中確實(shí)觀察到的現(xiàn)象加以推廣。

一個(gè)重要的例子就是球面。如果你在地面上選一個(gè)點(diǎn)，然后標(biāo)出所有距離該點(diǎn)恰好1厘米的點(diǎn)，所形成的形狀就是一個(gè)半徑為1厘米的圓。如果你在三維空間中做同樣的事情，我們就會(huì)得到一個(gè)普通的球體（或叫球面）。接下來(lái)就是令人興奮的部分了：因?yàn)橥耆嗤淖龇ㄔ谒木S空間中同樣有效，從而產(chǎn)生出第一個(gè)超球面。

這看起來(lái)像什么呢？當(dāng)我們從近處觀察一個(gè)圓時(shí)，它的每一小段看起來(lái)都像是一條普通的一維直線(xiàn)（因此圓也被稱(chēng)為1-球面）。圓與直線(xiàn)的區(qū)別在于，從遠(yuǎn)處看時(shí)，整個(gè)圓會(huì)彎回來(lái)與自身相連，并且只有有限長(zhǎng)度。同樣地，普通球面（即2-球面）的每一小塊看起來(lái)都像是二維平面中的一小塊。同樣地，這些小片以沒(méi)有邊界、只有有限面積的方式縫合在一起。到目前為止，這一切都在預(yù)料之中，但第一個(gè)超球面（即3-球面）的情況完全一樣：它的每個(gè)區(qū)域看起來(lái)都像是我們熟悉的三維空間。就我們所能觀測(cè)到的而言，我們或許現(xiàn)在就生活在這樣一個(gè)超球面之中。但與它低維的同類(lèi)不同的是，整個(gè)超球面會(huì)以平坦的三維空間所不具備的方式彎折回自身，形成一個(gè)沒(méi)有邊界、只有有限體積的形狀（你可以在這里了解更多關(guān)于3-球面的內(nèi)容）。當(dāng)然，我們不會(huì)止步于此：下一個(gè)超球面（4-球面）的每個(gè)區(qū)域看起來(lái)都像四維空間，如此類(lèi)推到每一個(gè)維度。

正如一個(gè)三維物體可以投影到一個(gè)二維平面上一樣，一個(gè)四維物體也可以投影到三維空間中。這幅圖像來(lái)自一個(gè)四維超球面的投影。圖中的曲線(xiàn)分別是該超球面的緯線(xiàn)（紅色）、經(jīng)線(xiàn)（藍(lán)色）以及所謂的“超經(jīng)線(xiàn)”（綠色）的投影。圖片來(lái)源：Claudio Rocchini

從幾何學(xué)到拓?fù)鋵W(xué)再到微分拓?fù)鋵W(xué)

與幾何學(xué)一樣，拓?fù)鋵W(xué)也是數(shù)學(xué)中研究形狀的一個(gè)分支。其中要探討的一個(gè)基本問(wèn)題是：兩個(gè)形狀在什么時(shí)候才是 真正相同的。這個(gè)問(wèn)題并沒(méi)有唯一的答案，它取決于你最關(guān)注形狀的哪些方面。在基礎(chǔ)層面上，如果兩個(gè)形狀完全相同但位于不同的位置，那么在大多數(shù)情況下，我們會(huì)認(rèn)為它們是“相同”的。

拓?fù)鋵W(xué)對(duì)“相同”的定義比幾何學(xué)寬泛得多。在拓?fù)鋵W(xué)中，如果一個(gè)形狀可以通過(guò)拉伸、扭轉(zhuǎn)變成另一個(gè)形狀，那么它們就被認(rèn)為是“相同”的。因此，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)家來(lái)說(shuō)，三角形、梯形、七邊形等等都是相同的：它們本質(zhì)上都是圓。另一方面，數(shù)字“8”的形狀則完全不同，因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)意義上的“相同”不允許對(duì)形狀進(jìn)行切割或粘貼。所以，一個(gè)“8”永遠(yuǎn)無(wú)法被拉成一個(gè)圓的形狀，因?yàn)榍懈钍潜唤沟模煌瑯拥兀?xiě)字母“i”也無(wú)法變成圓，因?yàn)樗膬刹糠譄o(wú)法粘貼在一起。

如果你關(guān)心的是角度、長(zhǎng)度或面積之類(lèi)的東西，那么拓?fù)鋵W(xué)的視角就不合適了。但在這一層面上，仍有許多重要的信息得以保留：一個(gè)著名的例子就是倫敦地鐵圖。在這張圖上，重要的不是隧道的長(zhǎng)度或精確路線(xiàn)，而是車(chē)站的順序、以及不同地鐵線(xiàn)路之間的交叉方式。這些現(xiàn)象本質(zhì)上是拓?fù)涞模⑶以谕負(fù)渥冃蜗卤３植蛔儭＿@很方便，因?yàn)樗寕惗厝丝梢允褂媚菑堉暮?jiǎn)化示意圖，而不需要一張包含所有地鐵線(xiàn)路精確走向的全城詳細(xì)地圖。

有些形狀，比如甜甜圈形狀的環(huán)面，上面有洞。這些洞是本質(zhì)性的，無(wú)法通過(guò)拓?fù)湟饬x上的扭轉(zhuǎn)或拉伸去除。那么，哪些形狀是沒(méi)有洞的呢？拓?fù)鋵W(xué)中最著名的定理——龐加萊猜想——為這個(gè)問(wèn)題提供了一個(gè)優(yōu)雅的答案：它說(shuō)，唯一沒(méi)有洞的形狀就是球面。從幾何學(xué)的角度來(lái)看，這并不成立，因?yàn)榱⒎襟w、棱錐體、十二面體以及眾多其他形狀也都沒(méi)有洞。但當(dāng)然，對(duì)于拓?fù)鋵W(xué)家來(lái)說(shuō)，所有這些令人興奮的形狀都不過(guò)是球面而已。

我們自2002年起就已經(jīng)知道龐加萊猜想確實(shí)成立。亨利·龐加萊最初的問(wèn)題是關(guān)于三維球面的，但事實(shí)上，同樣的結(jié)論也適用于所有更高的維度。事實(shí)是，從拓?fù)鋵W(xué)的角度來(lái)看，球面在每個(gè)維度中都是極其簡(jiǎn)單且獨(dú)特的對(duì)象。然而，在1956年，第一個(gè)證據(jù)出現(xiàn)了，表明只要稍微改變一下視角，這個(gè)故事就會(huì)變得復(fù)雜得多。當(dāng)通過(guò)微分拓?fù)溥@一新學(xué)科來(lái)審視時(shí)，高維空間開(kāi)始揭示它們一些非凡的秘密。

縫隙、扭結(jié)與棱角

普通拓?fù)鋵W(xué)與微分拓?fù)鋵W(xué)之間的差異看似非常微妙，但結(jié)果卻帶來(lái)了驚人的后果。這種差異取決于變形過(guò)程中所允許的拉伸與扭轉(zhuǎn)的精確類(lèi)型。這對(duì)被視為“相同”的形狀產(chǎn)生了巨大影響。

區(qū)分在于兩類(lèi)過(guò)程：一類(lèi)是連續(xù)的，即不會(huì)產(chǎn)生跳躍或撕裂；另一類(lèi)是光滑的。光滑性是一個(gè)比連續(xù)性強(qiáng)得多的條件。同樣的區(qū)分也適用于形狀本身：圓和球面是光滑形狀的例子，而正方形和立方體由于有尖銳的棱和角，因此不是光滑的。不過(guò)，所有這些形狀都是連續(xù)的，因?yàn)樗鼈兊倪吘墰](méi)有任何間隙或跳躍（不連續(xù)的線(xiàn)條則表現(xiàn)為分成兩個(gè)分離的部分）。甚至還有分形圖案，它們處處連續(xù)，卻處處不光滑。

同樣，我們可以區(qū)分真正光滑的形變與僅僅連續(xù)但可能非常劇烈、帶有突變的形變。然而，這種區(qū)分是否真的那么重要，其實(shí)并不顯然。有沒(méi)有可能兩個(gè)形狀（拓?fù)鋵W(xué)家也稱(chēng)之為流形）從拓?fù)鋵W(xué)的角度看是相同的（用術(shù)語(yǔ)說(shuō)就是同胚的），但從微分拓?fù)涞慕嵌瓤磪s不同（不是微分同胚的）？換句話(huà)說(shuō)，是否存在兩個(gè)形狀，它們之間可以不通過(guò)切割而互相變形，但這種變形無(wú)法光滑地完成，而必須依賴(lài)于劇烈跳躍？這當(dāng)然很難想象，尤其是在一維、二維或三維空間中這種情況從未發(fā)生過(guò)。

這是一個(gè)被稱(chēng)為朱利亞集的分形。它的輪廓是連續(xù)的，但處處不光滑。

奇異球面

1956年，約翰·米爾諾在研究七維流形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)看起來(lái)非常奇怪的形狀。一方面，它沒(méi)有洞，因此似乎是一個(gè)球面；但另一方面，它彎曲的方式卻完全不像一個(gè)球面。起初，米爾諾以為他找到了龐加萊猜想在七維情形下的一個(gè)反例：一個(gè)沒(méi)有洞、但卻不是球面的形狀。但經(jīng)過(guò)更仔細(xì)的檢查，他的新形狀確實(shí)可以變形為一個(gè)球面（正如龐加萊所堅(jiān)持的那樣，它必須能夠做到這一點(diǎn)），但值得注意的是，這種變形無(wú)法光滑地完成。因此，盡管它在拓?fù)鋵W(xué)上是球面，但在微分意義上卻不是。

米爾諾發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)奇異球面，隨后又在其他維度中找到了更多。在每一種情況下，結(jié)果在拓?fù)鋵W(xué)上都是球面，但在微分意義上則不是。換一種說(shuō)法就是，奇異球面代表了在普通球面上賦予不同尋常的距離與曲率概念的方式。

在一維、二維和三維中，不存在奇異球面，只有普通的球面。這是因?yàn)樵谶@些熟悉的空間中，拓?fù)鋵W(xué)的視角與微分拓?fù)鋵W(xué)的視角并無(wú)分歧。同樣地，在五維和六維中也只有普通的球面，但在七維中，突然出現(xiàn)了28個(gè)奇異球面。在更高的維度中，奇異球面的數(shù)量在1和任意大的數(shù)字之間來(lái)回變化：

即便在今天，仍然最為神秘的領(lǐng)域是四維空間。在四維空間中，尚未發(fā)現(xiàn)任何奇異球面。同時(shí)，也沒(méi)有人能夠證明它們不可能存在。斷言四維空間中不存在奇異球面的命題，被稱(chēng)為光滑龐加萊猜想。如果有人讀到這里仍不確定，請(qǐng)讓我明確一點(diǎn)：光滑龐加萊猜想與龐加萊猜想不是同一回事！兩者的一個(gè)區(qū)別在于，龐加萊猜想已被證明，而光滑龐加萊猜想至今仍然懸而未決。

四維的怪異世界

那么，光滑龐加萊猜想是否成立呢？大多數(shù)數(shù)學(xué)家傾向于認(rèn)為它可能是假的，并且四維奇異球面很可能存在。原因在于，四維空間已被證明是一個(gè)非常怪異的地方，各種令人驚訝的事情都會(huì)在這里發(fā)生。一個(gè)典型的例子是，1983年人們?cè)谒木S空間中發(fā)現(xiàn)了一種全新的形狀類(lèi)型——這種形狀是完全不可光滑化的。

如上所述，正方形因其尖銳的棱角而不是光滑的形狀，但它可以被光滑化。也就是說(shuō)，它在拓?fù)渖吓c一個(gè)光滑的形狀——即圓——是相同的。然而在1983年，西蒙·唐納森發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)新的四維流形，它們是不可光滑化的：它們充滿(mǎn)了本質(zhì)性的扭結(jié)和尖銳的棱邊，以至于沒(méi)有任何辦法能把它們?nèi)颗交?/p>

不僅如此，存在奇異版本的并不僅僅是球面。現(xiàn)在我們知道，四維空間本身（即R^4）也有多種不同的類(lèi)型。有通常的平坦空間，而與之并存的還有各種奇異的R^4。這些奇異空間每一個(gè)在拓?fù)渖隙寂c普通空間相同，但在微分意義上則不同。令人驚訝的是，正如克利福德·陶布斯在1987年所證明的那樣，實(shí)際上存在無(wú)窮多種這樣的另類(lèi)現(xiàn)實(shí)。從這個(gè)角度來(lái)看，第四維確實(shí)比其他所有維度都要無(wú)限奇異：因?yàn)閷?duì)于所有其他維度R^n都只有唯一的一種。也許，第四維終究是科幻作家想象中那些怪異世界在數(shù)學(xué)上的恰當(dāng)舞臺(tái)。

上圖是一個(gè)涉及四維物體——十二重體（dodecaplex）的投影圖像。

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書(shū)鏈接。

青山 不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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